Планіметрія на НМТ: усі формули й теми, які треба знати напам'ять
Планіметрія на НМТ — це формули площ, теорема Піфагора, подібність і властивості фігур. Зібрали всі ключові формули в одну шпаргалку з таблицею й типовими завданнями.
Планіметрія на НМТ лякає більше, ніж заслуговує. Насправді це не безмежне море теорії, а компактний набір формул і властивостей фігур, які повторюються з тесту в тест. Якщо вивчити ключові формули напам'ять і навчитися бачити, яку з них застосувати — планіметричні завдання перетворюються з «жаху» на стабільні бали.
Трикутники — основа всього
Більшість планіметричних задач так чи інакше зводяться до трикутника. Що треба тримати в голові:
- Сума кутів трикутника = 180°. Це рятує в половині завдань на кути.
- Теорема Піфагора: у прямокутному трикутнику c² = a² + b², де c — гіпотенуза.
- Площа: S = ½ · a · h (півдобутку сторони на висоту до неї).
- Нерівність трикутника: кожна сторона менша за суму двох інших.
- У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні; висота до основи є й медіаною, і бісектрисою.
Запам'ятай «піфагорові трійки»: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17. Якщо в задачі дві сторони прямокутного трикутника з цих наборів — третю можна назвати миттєво, не рахуючи корінь. На тесті це економить дорогоцінні хвилини.
Подібність трикутників
Дві фігури подібні, якщо в них однакова форма, але різний розмір. Для трикутників є три ознаки подібності (за двома кутами; за двома сторонами й кутом між ними; за трьома сторонами). Головне, що дає подібність: відповідні сторони пропорційні, а відношення площ дорівнює квадрату коефіцієнта подібності. Якщо сторони більші у 3 рази — площа більша у 9 разів. Це улюблена «пастка» укладачів.
Чотирикутники
Тут важливо не плутати властивості. Коротко по кожному:
- Паралелограм: протилежні сторони й кути рівні, діагоналі точкою перетину діляться навпіл.
- Прямокутник: усі кути прямі, діагоналі рівні.
- Ромб: усі сторони рівні, діагоналі перпендикулярні й ділять кути навпіл.
- Квадрат: одночасно і прямокутник, і ромб — успадковує всі їхні властивості.
- Трапеція: середня лінія дорівнює півсумі основ, m = (a + b) / 2.
Коло й круг
Ключові факти про коло: довжина кола C = 2πr, площа круга S = πr². Окремо вивчи вписаний і центральний кути: вписаний кут удвічі менший за центральний, що спирається на ту саму дугу. А вписаний кут, що спирається на діаметр, завжди прямий (90°) — це часто рятує в задачах.
Таблиця формул площ — вивчи напам'ять
Це must-have шпаргалка. Саме площі фігур найчастіше питають на НМТ:
| Фігура | Формула площі | Позначення |
|---|---|---|
| Трикутник | S = ½ · a · h | a — сторона, h — висота до неї |
| Прямокутний трикутник | S = ½ · a · b | a, b — катети |
| Прямокутник | S = a · b | a, b — сторони |
| Квадрат | S = a² | a — сторона |
| Паралелограм | S = a · h | a — сторона, h — висота до неї |
| Ромб | S = ½ · d1 · d2 | d1, d2 — діагоналі |
| Трапеція | S = ½ · (a + b) · h | a, b — основи, h — висота |
| Круг | S = πr² | r — радіус |
Типові завдання планіметрії на НМТ
- Знайти площу фігури за заданими сторонами / діагоналями / висотою.
- Обчислити невідому сторону через теорему Піфагора.
- Знайти кут, використавши суму кутів або властивості вписаного кута.
- Задачі на подібність: знайти сторону чи відношення площ.
- Комбіновані фігури: розбити складну фігуру на прості й додати/відняти площі.
У складних фігурах завжди шукай, як розбити її на трикутники, прямокутники й частини кола. Майже будь-яку «страшну» площу можна порахувати як суму або різницю кількох простих. Окремої формули для дивних фігур на тесті не буває — тільки комбінація базових.
Планіметрія — це не про запам'ятати сотню формул, а про впізнати у задачі фігуру, формулу якої ти вже знаєш.
Формулювання й акценти в програмі можуть уточнюватися, тож перелік тем із математики звіряй на офіційних джерелах (МОН, УЦОЯО) та в чинній програмі НМТ.
У NaMeTi усі ці формули зібрані в окрему шпаргалку з планіметрії, а тематичні тести дають прогнати кожен тип завдання окремо — від площ до подібності. Прорешай блок «Планіметрія», звіряй розв'язки з поясненнями, і на пробному НМТ ця тема вже не забиратиме в тебе бали.
Готовий перейти від теорії до балів? 🎯
Пройди тести формату НМТ безкоштовно — без реєстрації.
Уся підготовка з математики →