Стереометрія НМТ: усі формули обʼємів і площ поверхонь в одному місці
Призма, піраміда, циліндр, конус і куля — усі формули обʼємів та площ поверхонь для НМТ з математики, типові задачі й таблиця, яку варто вивчити напамʼять перед іспитом.
Стереометрія лякає більше, ніж має. Насправді весь блок тримається на кількох тілах і десятку формул. Якщо ти знаєш формули обʼємів і площ поверхонь для призми, піраміди, циліндра, конуса й кулі та вмієш їх підставляти — це вже стабільні бали на НМТ з математики. Розберемо всі формули й типові задачі.
Що взагалі питають зі стереометрії
Питання діляться на три типи: знайти обʼєм тіла, знайти площу поверхні (повну або бічну) і знайти невідомий елемент (ребро, висоту, радіус), коли обʼєм чи площа вже задані. Тому формулу треба вміти читати «в обидва боки»: не лише V за даними, а й дане з V.
Головна таблиця формул стереометрії
Ось опорна таблиця. Тут S — площа основи, P — периметр основи, h — висота, r/R — радіус, l — твірна. Ці формули дає й довідник на іспиті, але швидкість буде тільки якщо вони в голові. Точні позначення й округлення числа пі звіряй на офіційних джерелах (МОН, УЦОЯО), у чинній програмі НМТ.
| Тіло | Обʼєм V | Площа поверхні |
|---|---|---|
| Призма | V = S · h | S повна = 2·S основи + P·h (бічна = P·h) |
| Прямокутний паралелепіпед | V = a · b · c | S = 2(ab + bc + ac) |
| Куб | V = a³ | S = 6a² |
| Піраміда | V = (1/3)·S·h | S повна = S основи + сума площ бічних граней |
| Циліндр | V = пі·r²·h | S бічна = 2·пі·r·h; S повна = 2·пі·r·(r + h) |
| Конус | V = (1/3)·пі·r²·h | S бічна = пі·r·l; S повна = пі·r·(r + l) |
| Куля / сфера | V = (4/3)·пі·R³ | S сфери = 4·пі·R² |
Запамʼятай логіку «одна третина»: у піраміди й конуса (тіл із вершиною) обʼєм у 3 рази менший за відповідну призму чи циліндр з тією ж основою й висотою. Тому в їхніх формулах стоїть множник 1/3 — це не треба зубрити окремо.
Звʼязок у конусі: не забувай теорему Піфагора
У прямому конусі радіус r, висота h і твірна l утворюють прямокутний трикутник: l² = r² + h². Половина задач на конус зводиться саме до цього: дали двоє з трьох — знайди третє, а потім рахуй обʼєм чи площу. Той самий принцип працює в піраміді через апофему.
Типова задача покроково
Умова: циліндр має радіус основи r = 3 см і висоту h = 10 см. Знайти обʼєм і повну площу поверхні.
- Обʼєм: V = пі·r²·h = пі · 9 · 10 = 90·пі ≈ 282,7 см³.
- Бічна поверхня: S бічна = 2·пі·r·h = 2·пі·3·10 = 60·пі.
- Дві основи: 2·пі·r² = 2·пі·9 = 18·пі.
- Повна поверхня: S = 60·пі + 18·пі = 78·пі ≈ 245 см². Готово.
90% задач зі стереометрії — це «підстав у формулу» плюс один трикутник із Піфагором. Складне тут — не математика, а невивчена формула.
Часті помилки
- Плутають бічну й повну поверхню — читай уважно, що саме питають.
- Забувають множник 1/3 в піраміді й конусі.
- Підставляють діаметр замість радіуса — завжди перевіряй, що дано.
- Змішують одиниці: см і мм в одній задачі — спершу зведи до однакових.
- У кулі плутають V = (4/3)пі·R³ і S = 4пі·R² — вчи їх у парі.
Найкращий спосіб не забути формули — прогнати їх через десятки коротких задач. У NaMeTi є шпаргалка з усіма формулами обʼємів і площ на одному екрані, флешкартки «тіло → формула» для механічного запамʼятовування й тести формату НМТ саме на стереометрію. Повтори таблицю, а потім закрий її й перевір себе тестом — так формули залишаться в голові до дня іспиту.
Готовий перейти від теорії до балів? 🎯
Пройди тести формату НМТ безкоштовно — без реєстрації.
Уся підготовка з математики →