📏
Тема 15 · НМТ з математики Модуль числа: рівняння та нерівності
Модуль — це відстань. Звідси всі правила й усі підводні камені
🗣️ Простими словами
Модуль числа — це відстань від нуля на числовій прямій. А відстань не буває відʼємною — звідси випливає геть усе інше.
|7| = 7 · |−7| = 7 · |0| = 0
|7| = 7 · |−7| = 7 · |0| = 0
🧲 Модуль працює як магніт до нуля: знак зриває, відстань лишає.
Означення
|a| = a, якщо a ≥ 0
|a| = −a, якщо a < 0
Другий рядок лякає мінусом, але «−a» тут означає «зміни знак», а не «відʼємне число»: якщо a = −7, то −a = 7.
|a| = −a, якщо a < 0
Другий рядок лякає мінусом, але «−a» тут означає «зміни знак», а не «відʼємне число»: якщо a = −7, то −a = 7.
Рівняння з модулем ⚖️
🗣️ Простими словами
Правило одне: |вираз| = a розпадається на два випадки:
вираз = a або вираз = −a.
Але спершу подивись на саме a: якщо воно відʼємне — розвʼязків немає взагалі, бо відстань не буває відʼємною.
вираз = a або вираз = −a.
Але спершу подивись на саме a: якщо воно відʼємне — розвʼязків немає взагалі, бо відстань не буває відʼємною.
📝 Два корені
|x − 3| = 5
x − 3 = 5 → x = 8
x − 3 = −5 → x = −2
Обидва підходять: відстань від 8 до 3 дорівнює 5, і від −2 до 3 теж 5.
x − 3 = 5 → x = 8
x − 3 = −5 → x = −2
Обидва підходять: відстань від 8 до 3 дорівнює 5, і від −2 до 3 теж 5.
📝 Коренів немає
|x + 1| = −2
Ліворуч завжди невідʼємне число, праворуч — відʼємне. Розвʼязків немає, і це повна відповідь: розписувати випадки не треба.
Ліворуч завжди невідʼємне число, праворуч — відʼємне. Розвʼязків немає, і це повна відповідь: розписувати випадки не треба.
Перше, що робиш
Дивишся на праву частину. Відʼємна → відповідь одразу «немає розвʼязків». Нуль → рівно один корінь (вираз = 0). І лише якщо додатна — розписуєш два випадки.
✅ Перевір себе
Скільки коренів має рівняння |x − 4| = 6?
- АЖодного
- БОдин
- ВДва
Показати відповідь
Правильно: В — Два
x − 4 = 6 → x = 10, або x − 4 = −6 → x = −2. Два корені.
Нерівності: усередині чи назовні 🎯
🗣️ Простими словами
Знову через відстань — і тут дуже просто:
📍 |x| < a — «ближче, ніж a до нуля» → проміжок всередині: −a < x < a.
↔️ |x| > a — «далі, ніж a» → два промені назовні: x < −a або x > a.
📍 |x| < a — «ближче, ніж a до нуля» → проміжок всередині: −a < x < a.
↔️ |x| > a — «далі, ніж a» → два промені назовні: x < −a або x > a.
🧠 Як запам'ятати
Менше — все всередині одним шматком. Більше — два хвости назовні. Якщо переплутати, відповідь виходить рівно навпаки.
📝 Менше
|x − 2| ≤ 3
−3 ≤ x − 2 ≤ 3 → додаємо 2 до всіх частин →
−1 ≤ x ≤ 5. Один суцільний відрізок.
−3 ≤ x − 2 ≤ 3 → додаємо 2 до всіх частин →
−1 ≤ x ≤ 5. Один суцільний відрізок.
📝 Більше
|2x + 1| > 5
2x + 1 > 5 → 2x > 4 → x > 2
2x + 1 < −5 → 2x < −6 → x < −3
Відповідь: x < −3 або x > 2 — два окремі промені.
2x + 1 > 5 → 2x > 4 → x > 2
2x + 1 < −5 → 2x < −6 → x < −3
Відповідь: x < −3 або x > 2 — два окремі промені.
Слово-підказка
У випадку «менше» частини зʼєднує «і» (обидві умови одночасно). У випадку «більше» — «або» (досить однієї). Плутанина «і» з «або» — найчастіша помилка в цій темі.
Що ще питають на НМТ 📊
🗣️ Простими словами
📈 Графік y = |x| — «пташка» з вершиною в нулі: права половина — це y = x, ліва — дзеркальне відображення вгору.
➡️ y = |x − 3| — та сама пташка, зсунута праворуч на 3.
√ Корінь із квадрата: √(x²) = |x|, а не просто x. Класична пастка.
➡️ y = |x − 3| — та сама пташка, зсунута праворуч на 3.
√ Корінь із квадрата: √(x²) = |x|, а не просто x. Класична пастка.
📝 Корінь із квадрата
Обчисли √((−6)²).
Спокуса написати −6, але спершу квадрат: 36, а корінь із 36 = 6.
Саме тому √(x²) = |x|.
Спокуса написати −6, але спершу квадрат: 36, а корінь із 36 = 6.
Саме тому √(x²) = |x|.
🕳️ Найпідступніша пастка теми: під коренем квадрат — на виході модуль, а не саме число.
✅ Перевір себе
Розвʼяжи нерівність |x| < 4
- Аx < −4 або x > 4
- Б−4 < x < 4
- Вx > 4
Показати відповідь
Правильно: Б — −4 < x < 4
«Менше» — це проміжок усередині: усі числа, що ближче за 4 кроки до нуля.
🗣️ Простими словами
Підсумок:
📏 Модуль — відстань до нуля, ніколи не відʼємний.
⚖️ Рівняння: перевір праву частину, потім два випадки.
🎯 Нерівності: «менше» — усередині («і»), «більше» — назовні («або»).
√ Памʼятай: √(x²) = |x|.
📏 Модуль — відстань до нуля, ніколи не відʼємний.
⚖️ Рівняння: перевір праву частину, потім два випадки.
🎯 Нерівності: «менше» — усередині («і»), «більше» — назовні («або»).
√ Памʼятай: √(x²) = |x|.
Закріпи тему «Модуль числа: рівняння та нерівності» на тестах 🎯
Пройди тести формату НМТ саме з цієї теми — безкоштовно, з розбором кожної помилки.