🔗
Тема 14 · НМТ з математики Системи рівнянь
Два рівняння, одна пара чисел: підстановка, додавання і як не загубити корінь
🗣️ Простими словами
Система — це не «два складні рівняння», а одна умова на двох: знайти пару чисел (x; y), яка підходить одночасно обом рівнянням. Якщо пара підійшла лише одному — це не розвʼязок.
🤝 Одне рівняння з двома невідомими має безліч розвʼязків. Друге рівняння — це той, хто нарешті звузить вибір до одного.
Що таке розвʼязок системи
Пара (x; y), що перетворює кожне рівняння на правильну рівність.
Геометрично два лінійні рівняння — це дві прямі, а розвʼязок — точка їх перетину.
Геометрично два лінійні рівняння — це дві прямі, а розвʼязок — точка їх перетину.
Спосіб 1: підстановка 🔁
🗣️ Простими словами
Працює завжди, коли одну змінну легко виразити. Порядок дій:
1️⃣ з простішого рівняння вирази y через x (або навпаки);
2️⃣ підстав цей вираз у друге рівняння — там лишиться одна змінна;
3️⃣ знайди її й повернись по другу.
1️⃣ з простішого рівняння вирази y через x (або навпаки);
2️⃣ підстав цей вираз у друге рівняння — там лишиться одна змінна;
3️⃣ знайди її й повернись по другу.
📝 Класика
y = 2x − 1
3x + y = 9
Підставляємо y у друге: 3x + (2x − 1) = 9 → 5x = 10 → x = 2.
Повертаємось: y = 2·2 − 1 = 3.
Відповідь: (2; 3). Перевірка: 3·2 + 3 = 9 ✓
3x + y = 9
Підставляємо y у друге: 3x + (2x − 1) = 9 → 5x = 10 → x = 2.
Повертаємось: y = 2·2 − 1 = 3.
Відповідь: (2; 3). Перевірка: 3·2 + 3 = 9 ✓
Коли обирати підстановку
Коли десь уже стоїть x = … або y = …, або коли перед змінною коефіцієнт 1. Тоді виражати легко й без дробів.
Спосіб 2: додавання ➕
🗣️ Простими словами
Ідея: додати або відняти рівняння так, щоб одна змінна зникла. Якщо коефіцієнти не збігаються — спершу домнож рівняння на потрібні числа.
📝 Змінна зникає сама
x + y = 10
x − y = 4
Додаємо рівняння: 2x = 14 → x = 7. Тоді y = 10 − 7 = 3.
Відповідь: (7; 3).
x − y = 4
Додаємо рівняння: 2x = 14 → x = 7. Тоді y = 10 − 7 = 3.
Відповідь: (7; 3).
📝 Спершу домножимо
2x + 3y = 16
3x − y = 13
Домножимо друге на 3: 9x − 3y = 39.
Додаємо до першого: 11x = 55 → x = 5.
З другого: y = 3·5 − 13 = 2.
Перевірка в першому: 2·5 + 3·2 = 16 ✓
3x − y = 13
Домножимо друге на 3: 9x − 3y = 39.
Додаємо до першого: 11x = 55 → x = 5.
З другого: y = 3·5 − 13 = 2.
Перевірка в першому: 2·5 + 3·2 = 16 ✓
🧠 Як запам'ятати
Бачиш «y = …» — підставляй. Бачиш однакові коефіцієнти — додавай. Обидва способи дають ту саму відповідь, різна лише кількість писанини.
✅ Перевір себе
Розвʼяжи систему: x + y = 7 і x − y = 1
- Аx = 4, y = 3
- Бx = 3, y = 4
- Вx = 5, y = 2
Показати відповідь
Правильно: А — x = 4, y = 3
Додаємо: 2x = 8 → x = 4. Тоді y = 7 − 4 = 3.
Коли одне рівняння нелінійне 📐
🗣️ Простими словами
Якщо в системі є добуток або квадрат — майже завжди рятує підстановка. А якщо дано суму й добуток двох чисел, спрацьовує красивий трюк: ці числа є коренями квадратного рівняння t² − (сума)·t + (добуток) = 0.
📝 Сума й добуток
x + y = 5
xy = 6
Складаємо рівняння: t² − 5t + 6 = 0 → t = 2 або t = 3.
Отже (2; 3) і (3; 2) — обидві пари правильні.
xy = 6
Складаємо рівняння: t² − 5t + 6 = 0 → t = 2 або t = 3.
Отже (2; 3) і (3; 2) — обидві пари правильні.
Не загуби другу пару
У нелінійних системах відповідей зазвичай дві. Найчастіша втрата балу — знайти одну пару й зупинитись.
👯 Дві пари — це нормально. Записуй обидві, інакше половина балу зникає.
Текстові задачі через систему 📝
🗣️ Простими словами
Якщо в умові дві невідомі величини й два факти про них — це система. Позначай буквами саме те, що питають, і перекладай кожне речення в рівняння.
📝 Квитки
Дорослий і дитячий квиток разом коштують 260 грн. Два дорослих і три дитячих — 660 грн.
a + d = 260 → a = 260 − d.
2(260 − d) + 3d = 660 → 520 + d = 660 → d = 140, a = 120.
Перевірка: 2·120 + 3·140 = 240 + 420 = 660 ✓
a + d = 260 → a = 260 − d.
2(260 − d) + 3d = 660 → 520 + d = 660 → d = 140, a = 120.
Перевірка: 2·120 + 3·140 = 240 + 420 = 660 ✓
Скільки розвʼязків буває 🔍
🗣️ Простими словами
📍 Один — прямі перетинаються (звичайний випадок).
🚫 Жодного — прямі паралельні: коефіцієнти пропорційні, а вільні члени ні (наприклад, x + y = 3 і x + y = 5).
♾️ Безліч — це одна й та сама пряма, записана двічі (x + y = 3 і 2x + 2y = 6).
🚫 Жодного — прямі паралельні: коефіцієнти пропорційні, а вільні члени ні (наприклад, x + y = 3 і x + y = 5).
♾️ Безліч — це одна й та сама пряма, записана двічі (x + y = 3 і 2x + 2y = 6).
Пастки на НМТ
🔄 Знайшов x — обовʼязково знайди y: відповідь це пара, а не число.
✅ Підставляй у обидва рівняння, не лише в те, з якого рахував.
➖ Стеж за знаком при відніманні рівнянь — там губиться найбільше балів.
✅ Підставляй у обидва рівняння, не лише в те, з якого рахував.
➖ Стеж за знаком при відніманні рівнянь — там губиться найбільше балів.
✅ Перевір себе
Скільки розвʼязків має система: x + y = 3 і 2x + 2y = 10?
- АОдин
- БЖодного
- ВБезліч
Показати відповідь
Правильно: Б — Жодного
Друге рівняння — це x + y = 5. Одна сума не може дорівнювати і 3, і 5 → прямі паралельні, розвʼязків немає.
🗣️ Простими словами
Підсумок:
🔁 Підстановка — коли змінну легко виразити.
➕ Додавання — коли коефіцієнти можна зрівняти.
📐 Сума й добуток — через квадратне рівняння, і відповідей дві.
✅ Перевірка в обох рівняннях — 10 секунд, які рятують бал.
🔁 Підстановка — коли змінну легко виразити.
➕ Додавання — коли коефіцієнти можна зрівняти.
📐 Сума й добуток — через квадратне рівняння, і відповідей дві.
✅ Перевірка в обох рівняннях — 10 секунд, які рятують бал.
Закріпи тему «Системи рівнянь» на тестах 🎯
Пройди тести формату НМТ саме з цієї теми — безкоштовно, з розбором кожної помилки.