🚴
Тема 13 · НМТ з математики Текстові задачі: рух, робота, суміші
Три сюжети, які повторюються щороку — і три формули, що їх закривають
🗣️ Простими словами
Текстова задача лякає не математикою, а текстом. Насправді сюжетів усього три: хтось їде, хтось працює, щось змішують. Кожен закривається однією формулою — і ось вони всі:
🚗 s = v · t · 🔧 A = p · t · 🧪 маса речовини = маса розчину · концентрація
🚗 s = v · t · 🔧 A = p · t · 🧪 маса речовини = маса розчину · концентрація
📖 Половина роботи — перекласти речення з української на математичну. Далі все просто.
Рух: одна формула на всі випадки 🚗
Три величини руху
s = v · t — шлях = швидкість × час.
Звідси: t = s / v і v = s / t.
Головне — стежити за одиницями: якщо швидкість у км/год, то час має бути в годинах, а не хвилинах.
Звідси: t = s / v і v = s / t.
Головне — стежити за одиницями: якщо швидкість у км/год, то час має бути в годинах, а не хвилинах.
🗣️ Простими словами
Уся складність — у тому, яку швидкість підставити:
➡️⬅️ рухаються назустріч → швидкості додаються: v₁ + v₂
➡️➡️ один наздоганяє іншого → віднімаються: v₁ − v₂
🌊 рух по воді → течія додається або віднімається
➡️⬅️ рухаються назустріч → швидкості додаються: v₁ + v₂
➡️➡️ один наздоганяє іншого → віднімаються: v₁ − v₂
🌊 рух по воді → течія додається або віднімається
📝 Назустріч
Міста за 300 км. Назустріч виїхали два авто: 60 км/год і 90 км/год. Через скільки зустрінуться?
Зближуються зі швидкістю 60 + 90 = 150 км/год.
t = 300 / 150 = 2 год.
Зближуються зі швидкістю 60 + 90 = 150 км/год.
t = 300 / 150 = 2 год.
📝 Навздогін
Велосипедист їде 15 км/год. Через 2 год за ним вирушив мотоцикліст — 45 км/год.
Спершу рахуємо фору: 15 · 2 = 30 км.
Наздоганяє зі швидкістю 45 − 15 = 30 км/год.
t = 30 / 30 = 1 год — і зустріч за 45 км від старту.
Спершу рахуємо фору: 15 · 2 = 30 км.
Наздоганяє зі швидкістю 45 − 15 = 30 км/год.
t = 30 / 30 = 1 год — і зустріч за 45 км від старту.
Ключ до задач навздогін
Не кидайся до формул одразу. Спочатку — яка фора (скільки той, хто попереду, встиг проїхати). Далі ділиш фору на різницю швидкостей. Дві дії, і задача закрита.
Рух по воді
За течією: v = v_власна + v_течії.
Проти течії: v = v_власна − v_течії.
Пліт чи колода не мають власної швидкості — вони пливуть рівно зі швидкістю течії.
Проти течії: v = v_власна − v_течії.
Пліт чи колода не мають власної швидкості — вони пливуть рівно зі швидкістю течії.
📝 Туди й назад
Човен має власну швидкість 12 км/год, течія — 3 км/год. Треба пройти 45 км туди й назад.
За течією: 12 + 3 = 15 км/год → 45 / 15 = 3 год.
Проти течії: 12 − 3 = 9 км/год → 45 / 9 = 5 год.
Разом: 8 год. Зверни увагу — «туди й назад» ніколи не дорівнює подвоєному часу в один бік.
За течією: 12 + 3 = 15 км/год → 45 / 15 = 3 год.
Проти течії: 12 − 3 = 9 км/год → 45 / 9 = 5 год.
Разом: 8 год. Зверни увагу — «туди й назад» ніколи не дорівнює подвоєному часу в один бік.
🌊 Проти течії завжди довше. Тому «туди й назад» — це два різні часи, а не час × 2.
🧠 Як запам'ятати
Назустріч — додаємо, навздогін — віднімаємо, за течією — додаємо, проти — віднімаємо. Усе, що потрібно памʼятати про рух.
✅ Перевір себе
Відстань 240 км, авто виїхали назустріч зі швидкостями 50 і 70 км/год. Через скільки годин зустрінуться?
- А2 год
- Б3 год
- В4 год
Показати відповідь
Правильно: А — 2 год
Зближення 50 + 70 = 120 км/год. t = 240 / 120 = 2 год.
Робота: приймай усе за одиницю 🔧
🗣️ Простими словами
Тут головний трюк: усю роботу — наповнити басейн, пофарбувати паркан, надрукувати звіт — приймаємо за 1. Тоді продуктивність (скільки роботи за годину) = 1 / час.
Хтось робить за 6 годин → за годину виконує 1/6 роботи. От і все.
Хтось робить за 6 годин → за годину виконує 1/6 роботи. От і все.
Спільна робота
Продуктивності додаються:
1/t = 1/t₁ + 1/t₂
Спочатку рахуєш, скільки вони роблять разом за годину, а потім перевертаєш дріб — і отримуєш час.
1/t = 1/t₁ + 1/t₂
Спочатку рахуєш, скільки вони роблять разом за годину, а потім перевертаєш дріб — і отримуєш час.
📝 Дві труби
Перша труба наповнює басейн за 6 год, друга — за 3 год. За скільки наповнять разом?
За годину: 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 басейну.
Перевертаємо: 2 год.
За годину: 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 басейну.
Перевертаємо: 2 год.
Перевірка на здоровий глузд
Разом завжди швидше, ніж будь-хто окремо. Якщо вийшло, що вдвох повільніше за найшвидшого — десь помилка в дробах. Це найпростіший спосіб зловити себе на НМТ.
🚰 Класика жанру: одна труба наповнює, друга виливає. Тоді продуктивності не додаються, а віднімаються.
✅ Перевір себе
Один робітник виконує замовлення за 4 год, другий — за 12 год. За скільки годин зроблять удвох?
- А2 год
- Б3 год
- В6 год
Показати відповідь
Правильно: Б — 3 год
1/4 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3 роботи за годину. Перевертаємо → 3 год.
Суміші та сплави: рахуй чисту речовину 🧪
🗣️ Простими словами
Найчастіша помилка — додавати відсотки. Відсотки не додаються! Додаються грами чистої речовини. Тому в таких задачах завжди спершу переходь від відсотків до грамів.
Основна формула
маса речовини = маса розчину · концентрація
Концентрація в частках: 15% = 0,15.
При змішуванні окремо додаєш маси розчинів і окремо маси речовини — а потім ділиш друге на перше.
Концентрація в частках: 15% = 0,15.
При змішуванні окремо додаєш маси розчинів і окремо маси речовини — а потім ділиш друге на перше.
📝 Змішали два розчини
200 г 15-відсоткового і 300 г 40-відсоткового розчину.
Речовина: 200 · 0,15 = 30 г і 300 · 0,4 = 120 г → разом 150 г.
Розчин: 200 + 300 = 500 г.
Концентрація: 150 / 500 = 0,3 = 30%.
Речовина: 200 · 0,15 = 30 г і 300 · 0,4 = 120 г → разом 150 г.
Розчин: 200 + 300 = 500 г.
Концентрація: 150 / 500 = 0,3 = 30%.
📝 Долили води
Скільки води додати до 400 г 20-відсоткового розчину, щоб він став 16-відсотковим?
Солі як було 400 · 0,2 = 80 г, так і лишилось — вода її не додає.
80 = 0,16 · (400 + x) → 400 + x = 500 → x = 100 г.
Солі як було 400 · 0,2 = 80 г, так і лишилось — вода її не додає.
80 = 0,16 · (400 + x) → 400 + x = 500 → x = 100 г.
Що не змінюється
Коли доливають воду — маса речовини стала, змінюється лише маса розчину. Коли додають чисту речовину — навпаки, вона росте разом із загальною масою. Визнач це першим — і рівняння складеться саме.
🧠 Як запам'ятати
Відсотки не додаються — додаються грами. Переклади все у грами чистої речовини, склади, поділи на нову масу.
✅ Перевір себе
У 300 г розчину міститься 12% солі. Скільки грамів солі в розчині?
- А25 г
- Б36 г
- В60 г
Показати відповідь
Правильно: Б — 36 г
300 · 0,12 = 36 г.
Пастки, на яких втрачають бали
⏱ Хвилини й години: 30 хв — це 0,5 год, а не 0,3.
🔁 «Туди й назад»: часи різні, складай окремо.
❓ Питання задачі: часто просять не час зустрічі, а відстань до місця зустрічі — дочитуй до кінця.
🧪 Відсотки: у відповідь іде концентрація, а рахував ти грами.
🔁 «Туди й назад»: часи різні, складай окремо.
❓ Питання задачі: часто просять не час зустрічі, а відстань до місця зустрічі — дочитуй до кінця.
🧪 Відсотки: у відповідь іде концентрація, а рахував ти грами.
🗣️ Простими словами
Підсумок на одному екрані:
🚗 Рух — s = v · t; назустріч додаємо швидкості, навздогін віднімаємо, спершу знаходимо фору.
🔧 Робота — уся робота це 1, продуктивності додаються, наприкінці перевертаємо дріб.
🧪 Суміші — рахуємо грами чистої речовини, а не відсотки.
🚗 Рух — s = v · t; назустріч додаємо швидкості, навздогін віднімаємо, спершу знаходимо фору.
🔧 Робота — уся робота це 1, продуктивності додаються, наприкінці перевертаємо дріб.
🧪 Суміші — рахуємо грами чистої речовини, а не відсотки.
Закріпи тему «Текстові задачі: рух, робота, суміші» на тестах 🎯
Пройди тести формату НМТ саме з цієї теми — безкоштовно, з розбором кожної помилки.