🧭
Тема 12 · НМТ з математики Координати та вектори
Відстань між точками, середина відрізка, дії з векторами
🗣️ Простими словами
Координатна площина — просто «карта» з осями x та y. Дві головні формули тут — це замаскований Піфагор:
📏 Відстань: AB = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
🎯 Середина: M((x₁+x₂)/2 ; (y₁+y₂)/2) — просто півсуми.
📏 Відстань: AB = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
🎯 Середина: M((x₁+x₂)/2 ; (y₁+y₂)/2) — просто півсуми.
📐 Відстань між точками — це Піфагор: різниці по x і по y — це катети, а відстань — гіпотенуза. Нічого нового!
📝 Відстань і середина
A(1; 2), B(4; 6).
Відстань: √((4−1)² + (6−2)²) = √(9+16) = √25 = 5.
Середина: ((1+4)/2 ; (2+6)/2) = (2,5; 4).
Відстань: √((4−1)² + (6−2)²) = √(9+16) = √25 = 5.
Середина: ((1+4)/2 ; (2+6)/2) = (2,5; 4).
Вектори — це «стрілки» з координатами ➡️
🗣️ Простими словами
Вектор — це стрілка: має напрям і довжину. Його координати — «кінець мінус початок»:
AB = (x₂−x₁ ; y₂−y₁).
А довжина (модуль) — знову Піфагор: |a| = √(aₓ² + aᵧ²).
AB = (x₂−x₁ ; y₂−y₁).
А довжина (модуль) — знову Піфагор: |a| = √(aₓ² + aᵧ²).
➡️ Координати вектора = «куди прийшов мінус звідки вийшов». Кінець мінус початок — і крапка.
Дії з векторами
• Додавання: (a₁; a₂) + (b₁; b₂) = (a₁+b₁; a₂+b₂) — покоординатно.
• Множення на число: k·(a₁; a₂) = (k·a₁; k·a₂).
• Скалярний добуток: a·b = aₓbₓ + aᵧbᵧ = |a|·|b|·cos α.
• Множення на число: k·(a₁; a₂) = (k·a₁; k·a₂).
• Скалярний добуток: a·b = aₓbₓ + aᵧbᵧ = |a|·|b|·cos α.
Перпендикуляр і паралель — миттєвий тест ⚡
🗣️ Простими словами
Два швидкі трюки через координати:
⟂ Перпендикулярні → скалярний добуток = 0 (aₓbₓ + aᵧbᵧ = 0).
∥ Колінеарні (паралельні) → координати пропорційні: a₁/b₁ = a₂/b₂.
⟂ Перпендикулярні → скалярний добуток = 0 (aₓbₓ + aᵧbᵧ = 0).
∥ Колінеарні (паралельні) → координати пропорційні: a₁/b₁ = a₂/b₂.
⟂ Скалярний добуток вийшов 0? Вектори перпендикулярні. Це найшвидша перевірка прямого кута в задачі.
Розберемо повільно: від точок до векторів 🐢
🗣️ Простими словами
Формула відстані AB = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) — це Піфагор у масці. Різниця x-ів — це горизонтальний катет, різниця y-ів — вертикальний, а сама відстань — гіпотенуза між точками. Тому й квадрати, і корінь: ми буквально рахуємо гіпотенузу прямокутного трикутника.
📝 Повний розбір: відстань і середина
Точки A(2; 3) і B(8; 11).
① Відстань: √((8−2)² + (11−3)²) = √(6² + 8²) = √(36+64) = √100 = 10.
② Середина: ((2+8)/2; (3+11)/2) = (10/2; 14/2) = (5; 7).
Відстань — з квадратами й коренем; середина — просто півсуми.
① Відстань: √((8−2)² + (11−3)²) = √(6² + 8²) = √(36+64) = √100 = 10.
② Середина: ((2+8)/2; (3+11)/2) = (10/2; 14/2) = (5; 7).
Відстань — з квадратами й коренем; середина — просто півсуми.
🗣️ Простими словами
Координати вектора — це «наскільки й куди зсунутись від початку до кінця». Вектор AB = (x₂−x₁; y₂−y₁): скільки пройти по горизонталі й скільки по вертикалі. Тому саме «кінець мінус початок», а не навпаки — інакше вектор дивитиметься в протилежний бік.
🗣️ Простими словами
Скалярний добуток a·b = aₓbₓ + aᵧbᵧ — це ЧИСЛО (не вектор!), яке ловить кут між векторами. Якщо воно = 0 — вектори перпендикулярні (кут 90°, бо cos90° = 0). Це найшвидший спосіб довести прямий кут: перемнож координати, додай — вийшов нуль, отже ⟂.
Топ-помилки, за які знімають бали
5 пасток
① У відстані забуваєш квадрат або корінь.
② Вектор рахуєш «початок мінус кінець» (навпаки).
③ Середину береш як різницю, а не півсуму.
④ Скалярний добуток рахуєш як вектор (це число!).
⑤ Плутаєш умову ⟂ (добуток=0) і ∥ (пропорція).
② Вектор рахуєш «початок мінус кінець» (навпаки).
③ Середину береш як різницю, а не півсуму.
④ Скалярний добуток рахуєш як вектор (це число!).
⑤ Плутаєш умову ⟂ (добуток=0) і ∥ (пропорція).
📝 Перевір себе 💪
① Відстань A(0;0), B(6;8) = 10
② Середина (2;4) і (6;10) = (4; 7)
③ Вектор від (1;1) до (4;5) = (3; 4)
④ (3;−2)·(2;3) = 6−6 = 0 → ⟂
② Середина (2;4) і (6;10) = (4; 7)
③ Вектор від (1;1) до (4;5) = (3; 4)
④ (3;−2)·(2;3) = 6−6 = 0 → ⟂
🧠 Як запам'ятати
Відстань — «Піфагор між точками» (√ різниць у квадраті); середина — півсуми. Вектор — «кінець мінус початок». Скалярний добуток = 0 → перпендикуляр.
Координати — це GPS 🧭
🗣️ Простими словами
💡 Де це в житті: GPS, карти, ігри, графіка — усе працює на координатах. Відстань між двома точками на карті рахують саме за формулою з цього уроку.
🗺️ Твій телефон щосекунди рахує відстань до точки за Піфагором (√ різниць координат). Ти щойно вивчив(-ла), як працює навігатор.
📝 Бонус-задача 🎁
Відстань від початку (0;0) до точки (5;12): √(25+144) = √169 = 13 (трикутник 5-12-13!).
✅ Перевір себе
Відстань між точками (0,0) і (3,4)
- А5
- Б7
- В12
Показати відповідь
Правильно: А — 5
d = √((3−0)² + (4−0)²) = √25 = 5.
✅ Перевір себе
Скалярний добуток перпендикулярних векторів дорівнює
- А0
- Б1
- В−1
Показати відповідь
Правильно: А — 0
Якщо вектори ⊥, їхній скалярний добуток = 0.
🗣️ Простими словами
Якщо зовсім коротко: відстань — це Піфагор між точками, середина — півсуми координат, вектор — «кінець мінус початок». А скалярний добуток = 0 миттєво ловить прямий кут 😉
Закріпи тему «Координати та вектори» на тестах 🎯
Пройди тести формату НМТ саме з цієї теми — безкоштовно, з розбором кожної помилки.