📉
Тема 11 · НМТ з математики Похідна та її застосування
Правила диференціювання, геометричний зміст, зростання/спадання, екстремуми
🗣️ Простими словами
Похідна f′(x) відповідає на питання: «як швидко й куди змінюється функція?».
📈 Геометрично — це нахил дотичної до графіка: f′(x₀) = tg α.
🚗 У фізиці — миттєва швидкість (похідна координати за часом).
📈 Геометрично — це нахил дотичної до графіка: f′(x₀) = tg α.
🚗 У фізиці — миттєва швидкість (похідна координати за часом).
Головне правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ ⭐
🗣️ Простими словами
Ключове правило, що вирішує 80% задач:
(xⁿ)′ = n·xn−1
«Степінь стрибає наперед множником, а сам стає на один менше». Напр. (x³)′ = 3x², (x⁵)′ = 5x⁴.
(xⁿ)′ = n·xn−1
«Степінь стрибає наперед множником, а сам стає на один менше». Напр. (x³)′ = 3x², (x⁵)′ = 5x⁴.
Таблиця похідних
• (c)′ = 0 (стала → нуль)
• (xⁿ)′ = n·xn−1
• (√x)′ = 1/(2√x)
• (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
• (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x
• (xⁿ)′ = n·xn−1
• (√x)′ = 1/(2√x)
• (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
• (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x
Правила диференціювання
• (u ± v)′ = u′ ± v′ (по частинах)
• (c·u)′ = c·u′ (стала виноситься)
• (u·v)′ = u′v + uv′ (добуток)
• (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² (частка)
• (c·u)′ = c·u′ (стала виноситься)
• (u·v)′ = u′v + uv′ (добуток)
• (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² (частка)
📝 Знайти похідну
f(x) = 2x³ − 5x + 4.
f′(x) = 2·3x² − 5 + 0 = 6x² − 5.
У точці x = 1: f′(1) = 6 − 5 = 1 (нахил дотичної там).
f′(x) = 2·3x² − 5 + 0 = 6x² − 5.
У точці x = 1: f′(1) = 6 − 5 = 1 (нахил дотичної там).
Похідна досліджує функцію 🔍
🗣️ Простими словами
Знак похідної миттєво каже, що робить функція:
⬆️ f′(x) > 0 → функція зростає.
⬇️ f′(x) < 0 → спадає.
🏔️ f′(x) = 0 і міняє знак → екстремум: «+→−» це максимум, «−→+» це мінімум.
⬆️ f′(x) > 0 → функція зростає.
⬇️ f′(x) < 0 → спадає.
🏔️ f′(x) = 0 і міняє знак → екстремум: «+→−» це максимум, «−→+» це мінімум.
Алгоритм пошуку екстремумів
① Знайди f′(x). ② Прирівняй до 0 → критичні точки. ③ Познач знаки f′ на проміжках. ④ Де знак змінюється — там екстремум (max або min).
Розберемо повільно: похідна й вершина 🐢
🗣️ Простими словами
Похідна — це «швидкість» функції в кожній точці. Уяви, що їдеш по графіку зліва направо. Дорога круто вгору → похідна велика додатна. Пологий спуск → похідна маленька відʼємна. Рівна ділянка (вершина пагорба чи дно ями) → похідна рівно 0. Саме тому нулі похідної шукають вершини.
📝 Повний розбір: знайти екстремум
Дослідити f(x) = x² − 4x + 3.
① Похідна: f′(x) = 2x − 4.
② Прирівнюємо до 0: 2x − 4 = 0 → x = 2.
③ Перевіряємо знак навколо: при x<2 похідна відʼємна (спад), при x>2 додатна (зростання). Знак «−»→«+» → це МІНІМУМ.
④ Значення: f(2) = 4 − 8 + 3 = −1. Мінімум у точці (2; −1).
① Похідна: f′(x) = 2x − 4.
② Прирівнюємо до 0: 2x − 4 = 0 → x = 2.
③ Перевіряємо знак навколо: при x<2 похідна відʼємна (спад), при x>2 додатна (зростання). Знак «−»→«+» → це МІНІМУМ.
④ Значення: f(2) = 4 − 8 + 3 = −1. Мінімум у точці (2; −1).
🗣️ Простими словами
Правило (xⁿ)′ = n·xn−1 читай як «показник зістрибнув наперед множником, а сам зменшився на 1». (x⁵)′ = 5x⁴: пʼятірка стала множником, показник став 4. Стала (число без x) має похідну 0 — бо число не змінюється, його «швидкість зміни» нульова.
🗣️ Простими словами
Щоб зрозуміти, максимум це чи мінімум, дивись, як похідна МІНЯЄ знак у критичній точці. З «+» на «−» (функція росла, потім спадає) — це вершина-максимум. З «−» на «+» (спадала, потім росте) — це яма-мінімум. Малюй знаки на числовій прямій — і не переплутаєш.
Топ-помилки, за які знімають бали
5 пасток
① (xⁿ)′ пишеш як xⁿ⁻¹ без множника n.
② Похідна сталої не 0, а «сама стала».
③ Знак у (cos x)′ забуваєш (там −sin x).
④ Кажеш «екстремум», хоча знак f′ не змінився.
⑤ Плутаєш f′>0 (зростає) з f′<0.
② Похідна сталої не 0, а «сама стала».
③ Знак у (cos x)′ забуваєш (там −sin x).
④ Кажеш «екстремум», хоча знак f′ не змінився.
⑤ Плутаєш f′>0 (зростає) з f′<0.
📝 Перевір себе 💪
① (x⁴)′ = 4x³
② (3x² − 2x)′ = 6x − 2
③ (5)′ = 0
④ f′(x)=2x−4 → екстремум при x = 2
② (3x² − 2x)′ = 6x − 2
③ (5)′ = 0
④ f′(x)=2x−4 → екстремум при x = 2
🧠 Як запам'ятати
«Степінь наперед, показник на один менше»: (xⁿ)′ = n·xn−1. f′ > 0 — вгору (зростає), f′ < 0 — вниз. Дотична: f′(x₀) = тангенс кута нахилу.
Похідна — швидкість усього 🚗
🗣️ Простими словами
💡 Де це в житті: спідометр показує похідну (швидкість = похідна шляху). Прискорення — похідна швидкості. Бізнес шукає, де прибуток максимальний — теж похідна = 0.
📝 Бонус-задача 🎁
f(x) = x² − 6x. f′(x) = 2x − 6 = 0 → x = 3. Це мінімум (гілки вгору). f(3) = −9.
🗣️ Простими словами
Якщо зовсім коротко: похідна — швидкість і напрям зміни функції. Знак «+» — графік угору, «−» — вниз, «0» — вершина. А рахують майже все через (xⁿ)′ = n·x^(n−1) 😉
Закріпи тему «Похідна та її застосування» на тестах 🎯
Пройди тести формату НМТ саме з цієї теми — безкоштовно, з розбором кожної помилки.