🧊
Тема 10 · НМТ з математики Стереометрія: об’єми та поверхні
Призма, піраміда, циліндр, конус, куля — формули об’єму й площі
🗣️ Простими словами
Об’єм — це «скільки влізе всередину». І весь секрет у двох групах тіл:
📦 Стовпчики (призма, циліндр): V = площа основи × висоту.
🔺 Гострі (піраміда, конус): те саме, але × ⅓.
📦 Стовпчики (призма, циліндр): V = площа основи × висоту.
🔺 Гострі (піраміда, конус): те саме, але × ⅓.
🔺 Головна мнемо теми: «з вершиною — третина». Є гострий носик (конус, піраміда)? Значить, у формулі ховається ⅓.
Стовпчики: V = S·h
• Прямокутний паралелепіпед: V = a·b·c
• Куб: V = a³
• Циліндр: V = πr²·h (основа — круг).
• Куб: V = a³
• Циліндр: V = πr²·h (основа — круг).
Гострі: V = ⅓·S·h
• Піраміда: V = ⅓·S·h
• Конус: V = ⅓·πr²·h
Та сама основа×висота, лише поділена на 3.
• Конус: V = ⅓·πr²·h
Та сама основа×висота, лише поділена на 3.
📝 Об’єм циліндра
r = 3, h = 5.
V = π·3²·5 = π·9·5 = 45π (≈ 141).
V = π·3²·5 = π·9·5 = 45π (≈ 141).
📝 Об’єм піраміди
Основа — квадрат зі стороною 6 (S = 36), висота 10.
V = ⅓·36·10 = 120.
V = ⅓·36·10 = 120.
Куля — просто вивчи напам’ять 🔮
🗣️ Простими словами
Кулю не виведеш «на пальцях», тому дві формули просто вчимо:
🔵 Об’єм: V = 4/3·πr³
🌐 Площа поверхні: S = 4πr².
🔵 Об’єм: V = 4/3·πr³
🌐 Площа поверхні: S = 4πr².
🔮 Куля: «чотири третіх пі ер куб» (об’єм) і «чотири пі ер квадрат» (поверхня). Проговори вголос — і запам’ятається.
Об’єм ≠ площа поверхні
Площа поверхні — це сума всіх граней (основа/основи + бічна). Бічна поверхня циліндра = 2πr·h (розгортка — прямокутник). Одиниці різні: об’єм у см³, площа у см² — не сплутай.
Розберемо повільно: обʼєм до числа 🐢
🗣️ Простими словами
Обʼєм «стовпчикових» тіл = площа основи × висота. Логіка проста: береш основу й «витягуєш» її вгору на висоту h. Скільки таких основ вклалось по висоті — стільки й обʼєму. Тому в циліндра V = (πr²) · h: спершу площа круга-основи, потім множимо на висоту.
📝 Повний розбір обʼєму циліндра
Циліндр: радіус 4, висота 10. Знайти обʼєм.
① Площа основи (круг): S = πr² = π · 4² = 16π.
② Обʼєм: V = S · h = 16π · 10 = 160π ≈ 502.
Не забувай: спершу радіус у квадрат, і лише тоді множ на висоту.
① Площа основи (круг): S = πr² = π · 4² = 16π.
② Обʼєм: V = S · h = 16π · 10 = 160π ≈ 502.
Не забувай: спершу радіус у квадрат, і лише тоді множ на висоту.
🗣️ Простими словами
Чому в піраміди й конуса зʼявляється ⅓? Бо «гостре» тіло займає рівно третину «стовпчика» тієї ж основи й висоти. Уяви: три однакові піраміди складаються в куб. Тому конус — це ⅓ від циліндра, у який він вписаний. Просто памʼятай: є вершина → дій ⅓.
🗣️ Простими словами
Не плутай обʼєм і площу поверхні. Обʼєм — скільки води влізе ВСЕРЕДИНУ (одиниці см³). Площа поверхні — скільки фарби піде, щоб пофарбувати ЗЗОВНІ (одиниці см²). Різні питання, різні формули, різні одиниці. Спершу зрозумій, ПРО ЩО питають, а тоді бери формулу.
Топ-помилки, за які знімають бали
5 пасток
① Забуваєш ⅓ у піраміді/конусі.
② Ставиш ⅓ у циліндр/призму (там її нема).
③ Плутаєш об’єм (см³) і площу (см²).
④ У кулі пишеш r² замість r³ в об’ємі.
⑤ Береш діаметр замість радіуса.
② Ставиш ⅓ у циліндр/призму (там її нема).
③ Плутаєш об’єм (см³) і площу (см²).
④ У кулі пишеш r² замість r³ в об’ємі.
⑤ Береш діаметр замість радіуса.
📝 Перевір себе 💪
① Куб зі стороною 4 → V = 64
② Конус r=3, h=4 → V = 12π
③ Куля r=3 → V = 36π
④ Циліндр r=2, h=10 → V = 40π
② Конус r=3, h=4 → V = 12π
③ Куля r=3 → V = 36π
④ Циліндр r=2, h=10 → V = 40π
🧠 Як запам'ятати
«З вершиною — третина». Призма/циліндр: просто основа×висота. Піраміда/конус: те саме, але ×⅓. Куля: «чотири третіх пі ер куб» (V) і «чотири пі ер квадрат» (S).
Обʼєми — навколо тебе 🧊
🗣️ Простими словами
💡 Де це в житті: скільки води в басейні, соку в пляшці, бетону на фундамент, повітря в кімнаті. Обʼєм — це завжди «скільки влізе всередину».
🍦 Обʼєм ріжка морозива (конус) = ⅓ від обʼєму «стакана» тієї ж висоти. Тому кулька зверху часто більша за сам ріжок 😋
📝 Бонус-задача 🎁
Куб зі стороною 2 vs куля радіуса 1: куб 2³ = 8, куля 4/3·π ≈ 4,19. Куб місткіший.
✅ Перевір себе
Об’єм куба з ребром 3
- А9
- Б18
- В27
Показати відповідь
Правильно: В — 27
V = a³ = 3³ = 27.
✅ Перевір себе
Об’єм циліндра обчислюють за формулою…
- Аπr²·h
- Бπr²
- В2πr
Показати відповідь
Правильно: А — πr²·h
V = πr²·h (площа основи πr² × висота h).
🗣️ Простими словами
Якщо зовсім коротко: об’єм — це основа×висоту (а для гострих тіл ще ÷3). Кулю вивчи напам’ять і не плутай об’єм (см³) з площею поверхні (см²) 😉
Закріпи тему «Стереометрія: об’єми та поверхні» на тестах 🎯
Пройди тести формату НМТ саме з цієї теми — безкоштовно, з розбором кожної помилки.