🎲
Тема 9 · НМТ з математики Ймовірність і комбінаторика
Класична ймовірність, перестановки, комбінації, середні значення
🗣️ Простими словами
Ймовірність — це просто частка вдалих випадків серед усіх:
P = m / n
m — скільки випадків нам підходять, n — скільки всього можливих. Відповідь завжди від 0 (неможливо) до 1 (точно буде).
P = m / n
m — скільки випадків нам підходять, n — скільки всього можливих. Відповідь завжди від 0 (неможливо) до 1 (точно буде).
🎲 Ймовірність = «скільки треба» ÷ «скільки всього». Більше за 1 вона НІКОЛИ не буває — це головна перевірка себе.
📝 Гральний кубик
Ймовірність випадання парного числа.
Сприятливі {2, 4, 6} = 3, усіх граней = 6.
P = 3/6 = ½ = 0,5.
Сприятливі {2, 4, 6} = 3, усіх граней = 6.
P = 3/6 = ½ = 0,5.
Комбінаторика — скільки способів 🔢
🗣️ Простими словами
Комбінаторика просто рахує кількість варіантів. Головне питання — чи важливий порядок:
🔀 Перестановки Pₙ = n! — усі n об’єктів у ряд.
🎯 Розміщення — вибір k з n, порядок ВАЖЛИВИЙ.
🤝 Комбінації Cₙᵏ = n!/(k!(n−k)!) — вибір k з n, порядок НЕважливий.
🔀 Перестановки Pₙ = n! — усі n об’єктів у ряд.
🎯 Розміщення — вибір k з n, порядок ВАЖЛИВИЙ.
🤝 Комбінації Cₙᵏ = n!/(k!(n−k)!) — вибір k з n, порядок НЕважливий.
🚦 Один тест на все: чи важливий порядок? Так (код, місця, призери) → розміщення. Ні (команда, букет, чергові) → комбінації.
📝 Комбінації
Скількома способами обрати 2 чергових з 5 учнів? Порядок неважливий.
C₅² = 5!/(2!·3!) = (5·4)/2 = 10.
C₅² = 5!/(2!·3!) = (5·4)/2 = 10.
n! росте як скажений
0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720. У Cₙᵏ більшість множників скорочується — не рахуй весь факторіал, скорочуй одразу.
Лайфхак «через протилежне» 🔄
🗣️ Простими словами
Іноді пряме рахування — жах, а протилежне — легко:
P(не A) = 1 − P(A).
Особливо для «хоча б один»: рахуй «жодного» і відніми від 1. Це економить купу часу.
P(не A) = 1 − P(A).
Особливо для «хоча б один»: рахуй «жодного» і відніми від 1. Це економить купу часу.
Середнє, мода, медіана 📊
Три «середні»
Середнє — сума ÷ кількість.
Мода — значення, що трапляється найчастіше.
Медіана — центральне число у впорядкованому ряду (при парній кількості — півсума двох центральних).
Мода — значення, що трапляється найчастіше.
Медіана — центральне число у впорядкованому ряду (при парній кількості — півсума двох центральних).
Розберемо повільно: рахуємо випадки 🐢
🗣️ Простими словами
Ймовірність — це чесний дріб «скільки нам підходить» ÷ «скільки всього однаково можливих». Ключове слово — ОДНАКОВО можливих. Кубик чесний: усі 6 граней рівноправні, тому знаменник 6. Якби грані були різні за шансом, формула P = m/n уже б не діяла.
📝 Повний розбір: «хоча б один» через протилежне
Кидаємо монету 3 рази. Яка ймовірність, що випаде хоча б один «орел»?
① Прямо рахувати довго (орел може бути 1, 2 чи 3 рази). Йдемо через протилежне.
② Протилежне до «хоча б один орел» — «жодного орла» = усі 3 решки.
③ P(усі решки) = ½ · ½ · ½ = 1/8.
④ P(хоча б один орел) = 1 − 1/8 = 7/8.
① Прямо рахувати довго (орел може бути 1, 2 чи 3 рази). Йдемо через протилежне.
② Протилежне до «хоча б один орел» — «жодного орла» = усі 3 решки.
③ P(усі решки) = ½ · ½ · ½ = 1/8.
④ P(хоча б один орел) = 1 − 1/8 = 7/8.
🗣️ Простими словами
Коли порядок важливий, а коли ні? Спитай: якщо поміняти елементи місцями — це той самий результат чи інший? Пароль 1-2-3 та 3-2-1 — РІЗНІ (порядок важливий → розміщення). А команда «Оля, Іван» та «Іван, Оля» — ОДНА Й ТА САМА (порядок неважливий → комбінації). Одне питання вирішує все.
📝 Повний розбір комбінацій
Скількома способами обрати 3 книжки з 5?
① Порядок неважливий → комбінації C₅³.
② C₅³ = 5!/(3!·2!) = (5·4·3)/(3·2·1) = 60/6 = 10.
Підказка: скорочуй одразу, не рахуй увесь 5! = 120.
① Порядок неважливий → комбінації C₅³.
② C₅³ = 5!/(3!·2!) = (5·4·3)/(3·2·1) = 60/6 = 10.
Підказка: скорочуй одразу, не рахуй увесь 5! = 120.
Топ-помилки, за які знімають бали
5 пасток
① Отримуєш P > 1 (значить, помилка).
② Береш розміщення там, де порядок неважливий.
③ Рахуєш увесь n! замість скорочення.
④ Забуваєш, що «хоча б один» = 1 − «жодного».
⑤ Плутаєш моду й медіану.
② Береш розміщення там, де порядок неважливий.
③ Рахуєш увесь n! замість скорочення.
④ Забуваєш, що «хоча б один» = 1 − «жодного».
⑤ Плутаєш моду й медіану.
📝 Перевір себе 💪
① P(непарне на кубику) = ½
② C₆² = 15
③ Середнє 4, 6, 8, 10 = 7
④ Мода ряду 3,3,5,7 = 3
② C₆² = 15
③ Середнє 4, 6, 8, 10 = 7
④ Мода ряду 3,3,5,7 = 3
🧠 Як запам'ятати
Ймовірність = «скільки треба» / «скільки всього». Порядок важливий → розміщення; неважливий → комбінації (C). «Хоча б один» рахуй через 1 − «жодного».
Ймовірність — це про життя 🎲
🗣️ Простими словами
💡 Де це в житті: погода («70% дощу»), лотереї, страхування, ігри, медичні тести. Розуміння ймовірності рятує від дурних ставок і паніки на рівному місці.
🎰 «Мені точно пощастить» — казино любить таких. Ймовірність джекпоту крихітна, і вона НЕ памʼятає, скільки ти вже програв.
📝 Бонус-задача 🎁
Ймовірність, що з колоди 36 карт витягнеш туза: 4 тузи / 36 = 1/9.
✅ Перевір себе
Імовірність випадання «6» на гральному кубику
- А1/6
- Б1/2
- В1/3
Показати відповідь
Правильно: А — 1/6
Одна сприятлива грань із шести: P = 1/6.
✅ Перевір себе
Скількома способами переставити 3 різні книги? (3!)
- А3
- Б6
- В9
Показати відповідь
Правильно: Б — 6
3! = 3 · 2 · 1 = 6 перестановок.
🗣️ Простими словами
Якщо зовсім коротко: ймовірність — частка вдалих серед усіх (0…1), а комбінаторика рахує варіанти. Спитай себе «чи важливий порядок?» — і одразу знаєш, C це чи розміщення 😉
Закріпи тему «Ймовірність і комбінаторика» на тестах 🎯
Пройди тести формату НМТ саме з цієї теми — безкоштовно, з розбором кожної помилки.