Логарифми та показникові вирази

Означення логарифма, властивості, показникові та логарифмічні рівняння

🗣️ Простими словами

Логарифм — це просто степінь навпаки.
Степінь питає: «скільки буде 2³?» → 8.
Логарифм питає навпаки: «до якого степеня піднести 2, щоб вийшло 8?» → 3.
Запис: log₂8 = 3, бо 2³ = 8.

Особливі значення (запам’ятай)

• log_a 1 = 0 (бо a⁰ = 1)
• log_a a = 1
• log_a aⁿ = n
• a^(log_a b) = b — основна логарифмічна тотожність.

Три властивості, що приносять бали 💰

🗣️ Простими словами

Логарифм перетворює складне на просте:
✖️→➕ log(x·y) = log x + log y (добуток стає сумою)
➗→➖ log(x/y) = log x − log y (частка стає різницею)
⬆️→⏩ log(xⁿ) = n·log x (степінь виноситься наперед).

📝 Обчислення

log₃27 = 3 (3³=27).
log₂32 − log₂4 = log₂(32/4) = log₂8 = 3.
lg 2 + lg 5 = lg 10 = 1 (десятковий, основа 10).

Рівняння: показникові й логарифмічні

🗣️ Простими словами

📈 Показникові: зведи до однакової основи й прирівняй показники.
2ˣ = 16 = 2⁴ → x = 4.
🔟 Логарифмічні: за означенням «розгорни» логарифм у степінь.
log₂(x−1) = 3 → x−1 = 2³ = 8 → x = 9.

‼️ Не забувай ОДЗ

Під логарифмом — лише додатне число. Тому в кінці логарифмічного рівняння ЗАВЖДИ перевіряй: чи не робить корінь вираз під log ≤ 0? Це найчастіша безглузда втрата балів.

Розберемо повільно: логарифм крок за кроком 🐢

🗣️ Простими словами

Найкращий спосіб не боятися логарифма — щоразу перекладати його вголос у степінь. log₂8 читай як «двійка в якому степені дасть 8?». Перебираєш: 2¹=2, 2²=4, 2³=8 — ага, третій. Отже log₂8 = 3. Логарифм — це просто пошук показника степеня, нічого більше.

📝 Повний розбір логарифмічного рівняння

Розвʼязати log₃(2x − 1) = 2.
① ОДЗ: під логарифмом має бути > 0 → 2x − 1 > 0 → x > 0,5. Запамʼятали.
② За означенням «розгортаємо»: 2x − 1 = 3² = 9.
③ 2x = 10 → x = 5.
④ Перевірка ОДЗ: 5 > 0,5 ✓. Відповідь: x = 5.

🗣️ Простими словами

Властивість log(x·y) = log x + log y — це відображення правила степенів. Множення чисел = додавання їхніх показників (памʼятаєш aᵐ·aⁿ = a^m+n?). А логарифм якраз і дістає показник. Тому множення всередині логарифма перетворюється на додавання логарифмів. Усе повʼязано.

🗣️ Простими словами

Чому ОДЗ такий важливий? Логарифм існує лише від додатних чисел (не можна спитати «2 в якому степені дасть −5?» — жоден степінь двійки не буває відʼємним). Тому знайдений корінь ОБОВʼЯЗКОВО перевіряй: підстав його під логарифм — якщо там вийшло ≤ 0, корінь стороннній, відкидаємо.

Топ-помилки, за які знімають бали

5 пасток

① Плутаєш log(x·y) із log x · log y (ні! це сума).
② Виносиш степінь, забувши, що це множник перед log.
③ Не перевіряєш ОДЗ (під log лише «+»).
④ Береш основу a = 1 або a ≤ 0 (заборонено).
⑤ У показниковому не зводиш до однакової основи.

📝 Перевір себе 💪

① log₂16 = 4
② log₅125 = 3
③ log₆4 + log₆9 = log₆36 = 2
④ 3ˣ = 81 → x = 4

🧠 Як запам'ятати

«Логарифм — це показник степеня». log_a b питає: «a в якому степені = b?». Добуток усередині → сума логарифмів; степінь → виноситься множником. ОДЗ: під логарифмом тільки «+».

Логарифми змінили світ 🌍

🗣️ Простими словами

💡 Де це в житті: гучність (децибели), кислотність (pH), сила землетрусів (шкала Ріхтера) — усе це логарифми. +1 бал Ріхтера = у 10 разів сильніший поштовх.

📝 Бонус-задача 🎁

log₂10 + log₂1,6 = log₂(10·1,6) = log₂16 = 4.

🗣️ Простими словами

Якщо зовсім коротко: логарифм — обернена дія до степеня. log₂8=3, бо 2³=8. Три властивості (добуток→сума, частка→різниця, степінь→множник) і перевірка ОДЗ — і тема твоя 😉

Закріпи тему «Логарифми та показникові вирази» на тестах 🎯

Пройди тести формату НМТ саме з цієї теми — безкоштовно, з розбором кожної помилки.

Пройти тест → Усе про НМТ з математики →