📐
Тема 7 · НМТ з математики Тригонометрія
Синус, косинус, тангенс; основні тотожності; значення кутів; прості рівняння
🗣️ Простими словами
Синус, косинус і тангенс — це просто відношення сторін прямокутного трикутника відносно кута α:
📐 sin = протилежний / гіпотенуза
📐 cos = прилеглий / гіпотенуза
📐 tg = протилежний / прилеглий = sin/cos.
📐 sin = протилежний / гіпотенуза
📐 cos = прилеглий / гіпотенуза
📐 tg = протилежний / прилеглий = sin/cos.
🧭 Пам’ятай напрямки: sinus дивиться на протилежний катет, cosinus — на «сусідній» (прилеглий). Гіпотенуза в обох знизу дробу.
6 значень, які варто знати напам’ять
Таблиця, що рятує
sin: 0°→0, 30°→½, 45°→√2/2, 60°→√3/2, 90°→1.
cos — та сама, але навпаки (0°→1 … 90°→0).
tg: 0°→0, 30°→√3/3, 45°→1, 60°→√3.
cos — та сама, але навпаки (0°→1 … 90°→0).
tg: 0°→0, 30°→√3/3, 45°→1, 60°→√3.
🎿 sin повзе вгору (0 → 1), cos котиться вниз (1 → 0). А на 45° вони зустрічаються: sin45° = cos45° = √2/2.
Головна формула всієї тригонометрії 🏆
🗣️ Простими словами
Одна тотожність працює для будь-якого кута:
sin²α + cos²α = 1
З неї витікає все: sin²α = 1 − cos²α, cos²α = 1 − sin²α. Застряг у задачі — спробуй її, майже завжди рятує.
sin²α + cos²α = 1
З неї витікає все: sin²α = 1 − cos²α, cos²α = 1 − sin²α. Застряг у задачі — спробуй її, майже завжди рятує.
📝 Знайти cos за sin
sin α = 0,6, α — гострий.
cos²α = 1 − 0,36 = 0,64 → cos α = √0,64 = 0,8 (гострий кут → беремо «+»).
cos²α = 1 − 0,36 = 0,64 → cos α = √0,64 = 0,8 (гострий кут → беремо «+»).
Знаки за чвертями 🧭
🗣️ Простими словами
На колі кожна чверть «дозволяє» свої додатні функції:
Ⅰ — усе «+» · Ⅱ — лише sin · Ⅲ — лише tg · Ⅳ — лише cos.
Ⅰ — усе «+» · Ⅱ — лише sin · Ⅲ — лише tg · Ⅳ — лише cos.
🧠 Як запам'ятати
«Всі Студенти Так Кажуть» — по чвертях Ⅰ→Ⅳ підказує, що додатне: Всі (все+), Синус, Тангенс, Косинус.
📝 Просте рівняння
sin x = ½ → x = 30° + 360°·n або x = 150° + 360°·n.
Важливо: sin x = a має розв’язки лише коли −1 ≤ a ≤ 1 (більше 1 синус не буває).
Важливо: sin x = a має розв’язки лише коли −1 ≤ a ≤ 1 (більше 1 синус не буває).
Формули зведення — без зубріння
cos(90°−α) = sin α, sin(90°−α) = cos α — тому й «ко-синус» — це синус доповняльного кута. Парність: cos(−α) = cos α, а sin(−α) = −sin α.
Розберемо повільно: sin, cos і одне коло 🐢
🗣️ Простими словами
Чому sin і cos ніколи не більші за 1? Бо це відношення катета до ГІПОТЕНУЗИ, а гіпотенуза — найдовша сторона. Ділиш менше на більше — виходить менше за 1. Максимум — коли катет дорівнює гіпотенузі (кут 90°), тоді sin = 1. Тому «sin x = 2» розвʼязків не має — це неможливо.
📝 Повний розбір: знайти сторони трикутника
Прямокутний трикутник, гіпотенуза 10, кут 30°. Знайти катети.
① Протилежний до 30° катет: sin30° = протилежний/10 → протилежний = 10 · sin30° = 10 · 0,5 = 5.
② Прилеглий: cos30° = прилеглий/10 → прилеглий = 10 · (√3/2) = 5√3 ≈ 8,66.
① Протилежний до 30° катет: sin30° = протилежний/10 → протилежний = 10 · sin30° = 10 · 0,5 = 5.
② Прилеглий: cos30° = прилеглий/10 → прилеглий = 10 · (√3/2) = 5√3 ≈ 8,66.
🗣️ Простими словами
Тотожність sin²α + cos²α = 1 — це замаскований Піфагор! У прямокутному трикутнику з гіпотенузою 1 катети дорівнюють sinα і cosα. За Піфагором sin²α + cos²α = 1² = 1. Тому вона й працює для будь-якого кута — це просто теорема Піфагора на колі радіуса 1.
🗣️ Простими словами
Як користатись тотожністю: якщо знаєш sinα і треба cosα — вирази cos²α = 1 − sin²α, візьми корінь. Знак («+» чи «−») визначає чверть: у першій чверті все додатне, тому беремо «+». Одна формула замість зубріння купи значень.
Топ-помилки, за які знімають бали
5 пасток
① Плутаєш протилежний і прилеглий катет.
② Пишеш sin/cos більше за 1.
③ Забуваєш «+360°·n» у розв’язках рівняння.
④ Береш «+» для cos у чверті, де він від’ємний.
⑤ Плутаєш tg = sin/cos (а не cos/sin).
② Пишеш sin/cos більше за 1.
③ Забуваєш «+360°·n» у розв’язках рівняння.
④ Береш «+» для cos у чверті, де він від’ємний.
⑤ Плутаєш tg = sin/cos (а не cos/sin).
📝 Перевір себе 💪
① sin30° + cos60° = ½ + ½ = 1
② cos α = 0,8, гострий → sin α = 0,6
③ tg45° = 1
④ sin x = 1 → x = 90° + 360°n
② cos α = 0,8, гострий → sin α = 0,6
③ tg45° = 1
④ sin x = 1 → x = 90° + 360°n
🧠 Як запам'ятати
«sin²+cos²=1» — головна формула всієї тригонометрії. Якщо застряг — майже завжди рятує вона. А чверті: «Всі Студенти Так Кажуть» (де що додатне).
Тригонометрія без страху 🌊
🗣️ Простими словами
💡 Де це в житті: sin і cos описують усе, що коливається — звук, хвилі, змінний струм у розетці (50 разів на секунду!), навіть маятник годинника. Це математика хвиль.
🌊 Синусоїда — це «дихання» природи: звук, світло, струм, припливи. Один раз зрозумів sin — і бачиш його всюди.
📝 Бонус-задача 🎁
sin30° · cos60° + cos30° · sin60° = ½·½ + (√3/2)·(√3/2) = ¼ + ¾ = 1.
✅ Перевір себе
sin 30° = ?
- А½
- Б√3⁄2
- В1
Показати відповідь
Правильно: А — ½
sin 30° = ½ — табличне значення.
✅ Перевір себе
sin²α + cos²α = ?
- А0
- Б1
- В2
Показати відповідь
Правильно: Б — 1
Основна тригонометрична тотожність: sin²α + cos²α = 1.
🗣️ Простими словами
Якщо зовсім коротко: sin, cos, tg — відношення сторін трикутника. Знай 6 базових значень і тотожність sin²+cos²=1 — і половина задач уже розв’язана 😉
Закріпи тему «Тригонометрія» на тестах 🎯
Пройди тести формату НМТ саме з цієї теми — безкоштовно, з розбором кожної помилки.