△
Тема 6 · НМТ з математики

Планіметрія: трикутники та площі

Теорема Піфагора, площі фігур, подібність, коло

🗣️ Простими словами
Планіметрія — це геометрія на площині: трикутники, площі, коло. Дві речі вирішують більшість задач:
📐 сума кутів трикутника = 180° (завжди!);
🔺 Піфагор у прямокутному: c² = a² + b², де c — гіпотенуза (найдовша, проти прямого кута).
📝 Піфагор у дії
Катети 3 і 4. Гіпотенуза:
c = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5.

Площі: майже завжди «основа × висота» 📏

🗣️ Простими словами
Гарна новина: більшість площ — це основа × висоту, іноді ділена навпіл:
🔺 Трикутник: S = ½·a·h
▭ Прямокутник: S = a·b
▱ Паралелограм: S = a·h
🔻 Трапеція: S = (a+b)/2·h (півсума основ × висоту)
⭕ Круг: S = πr², довжина кола C = 2πr.
📝 Площа трапеції
Основи 6 і 10, висота 4.
S = (6 + 10)/2 · 4 = 8 · 4 = 32.

Подібність: площа росте у КВАДРАТі ⚠️

🗣️ Простими словами
Подібні трикутники — однакові за формою, різні за розміром (сторони більші в k разів).
📏 периметри більші в k разів;
🟦 а площі — в k² разів! Це головна пастка теми.
📝 Відношення площ
Сторони більшого трикутника втричі довші (k = 3).
Площа більша в k² = 9 разів.
Прямокутний трикутник — золота жила
Тут одразу працюють і Піфагор, і тригонометрія: sin = протилежний/гіпотенуза, cos = прилеглий/гіпотенуза, tg = протилежний/прилеглий. Значення для 30°, 45°, 60° варто знати напам’ять.

Розберемо повільно: від теореми до відповіді 🐢

🗣️ Простими словами
Теорема Піфагора c² = a² + b² працює ТІЛЬКИ в прямокутному трикутнику, і c — завжди гіпотенуза (сторона навпроти прямого кута, найдовша). Якщо шукаєш гіпотенузу — додаєш квадрати катетів і береш корінь. Якщо шукаєш катет — навпаки, ВІДНІМАЄШ: a² = c² − b². Дуже часта помилка — додати замість відняти.
📝 Повний розбір: знайти катет
Гіпотенуза 13, один катет 5. Знайти другий.
① Піфагор: 13² = 5² + b².
② 169 = 25 + b².
③ b² = 169 − 25 = 144.
④ b = √144 = 12. Це трикутник 5-12-13.
🗣️ Простими словами
Площу складної фігури майже завжди можна знайти, розрізавши її на прості: прямокутники й трикутники. Порахуй площу кожного шматка окремо й додай. Або навпаки: добудуй фігуру до прямокутника й відніми зайве. Це працює навіть там, де готової формули немає.
🗣️ Простими словами
Чому при подібності площа росте в k², а не в k? Уяви квадрат 2×2 і збільш сторону вдвічі → 4×4. Сторона зросла в 2 рази, а клітинок стало 16 замість 4 — у 4 рази (тобто 2²). Площа — двовимірна, тож коефіцієнт діє «двічі»: по довжині й по ширині. Звідси й квадрат.

Топ-помилки, за які знімають бали

5 пасток
① Застосовуєш Піфагора до НЕпрямокутного трикутника.
② Береш за гіпотенузу катет.
③ Забуваєш ½ у площі трикутника/трапеції.
④ При подібності множиш площу на k, а не на k².
⑤ Плутаєш площу круга (πr²) з довжиною кола (2πr).
📝 Перевір себе 💪
① Катети 6 і 8 → гіпотенуза 10
② Трикутник a=10, h=6 → S = 30
③ Трапеція основи 4 і 8, h=5 → S = 30
④ k=2 → площа більша в 4 рази
🧠 Як запам'ятати
«Площа — половина, коли є висота». Трикутник і трапеція мають ½ (чи півсуму). А при подібності площа росте у квадраті коефіцієнта — часта пастка.

Геометрія — це красиво ❤️

🗣️ Простими словами
💡 Де це в житті: Піфагор рахує довжину сходів, діагональ телевізора («50 дюймів» — це діагональ!), відстань напряму. Площі — скільки фарби чи плитки купити.
📝 Бонус-задача 🎁
Діагональ прямокутника 3×4: d = √(3²+4²) = 5. Знову трикутник 3-4-5!
🗣️ Простими словами
Якщо зовсім коротко: площа — це «основа × висота» (для гострих фігур — ще ділимо на 2), а Піфагор знаходить третю сторону прямокутного трикутника. І пам’ятай про k² у подібності 😉

Закріпи тему «Планіметрія: трикутники та площі» на тестах 🎯

Пройди тести формату НМТ саме з цієї теми — безкоштовно, з розбором кожної помилки.

Пройти тест → Усе про НМТ з математики →
ℹ️ Планіметрія: трикутники та площі — НМТ з математики

Теорема Піфагора, площі фігур, подібність, коло. Урок НМТ з математики: пояснення теми з прикладами, шпаргалка й тест на закріплення. Безкоштовно, українською.

Готуватися до НМТ з NaMeTi можна будь-де — платформа працює онлайн по всій Україні та за кордоном, адаптована під відключення світла й нестабільний зв'язок. Наші учні складають НМТ у Києві, Харкові, Одесі, Дніпрі, Львові, Запоріжжі, Кривому Розі, Миколаєві, Вінниці, Полтаві, Чернігові, Черкасах та інших містах — незалежно від того, де ти живеш, уся підготовка до НМТ 2026 доступна з телефона чи ноутбука.

Підготовка до НМТ 2026 у містах України: підготовка до НМТ у Києві · підготовка до НМТ у Харкові · підготовка до НМТ у Одесі · підготовка до НМТ у Дніпрі · підготовка до НМТ у Львові · підготовка до НМТ у Запоріжжі · підготовка до НМТ у Кривому Розі · підготовка до НМТ у Миколаєві · підготовка до НМТ у Вінниці · підготовка до НМТ у Полтаві · підготовка до НМТ у Чернігові · підготовка до НМТ у Черкасах · підготовка до НМТ у Житомирі · підготовка до НМТ у Сумах · підготовка до НМТ у Хмельницькому · підготовка до НМТ у Чернівцях · підготовка до НМТ у Рівному · підготовка до НМТ у Кропивницькому · підготовка до НМТ у Івано-Франківську · підготовка до НМТ у Тернополі · підготовка до НМТ у Луцьку · підготовка до НМТ у Ужгороді · підготовка до НМТ у Кременчуці · підготовка до НМТ у Білій Церкві · підготовка до НМТ у Краматорську · підготовка до НМТ у Херсоні · підготовка до НМТ у Нікополі · підготовка до НМТ у Павлограді · підготовка до НМТ у Кам’янському · підготовка до НМТ у Слов’янську · підготовка до НМТ у Мукачеві · підготовка до НМТ у Умані · підготовка до НМТ у Ніжині · підготовка до НМТ у Дрогобичі.

NaMeTi — тести НМТ, шпаргалки, флешкартки, уроки та калькулятор балів НМТ для учнів 11 класу і вступників. Математика, українська мова та література, історія України, англійська мова, біологія, географія, фізика, хімія — уся програма НМТ/ЗНО в одному місці, безкоштовно та українською.