△
Тема 6 · НМТ з математики Планіметрія: трикутники та площі
Теорема Піфагора, площі фігур, подібність, коло
🗣️ Простими словами
Планіметрія — це геометрія на площині: трикутники, площі, коло. Дві речі вирішують більшість задач:
📐 сума кутів трикутника = 180° (завжди!);
🔺 Піфагор у прямокутному: c² = a² + b², де c — гіпотенуза (найдовша, проти прямого кута).
📐 сума кутів трикутника = 180° (завжди!);
🔺 Піфагор у прямокутному: c² = a² + b², де c — гіпотенуза (найдовша, проти прямого кута).
📐 Побачив прямий кут у трикутнику — думай про Піфагора. Знаєш дві сторони → третя завжди знайдеться.
📝 Піфагор у дії
Катети 3 і 4. Гіпотенуза:
c = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5.
c = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5.
Площі: майже завжди «основа × висота» 📏
🗣️ Простими словами
Гарна новина: більшість площ — це основа × висоту, іноді ділена навпіл:
🔺 Трикутник: S = ½·a·h
▭ Прямокутник: S = a·b
▱ Паралелограм: S = a·h
🔻 Трапеція: S = (a+b)/2·h (півсума основ × висоту)
⭕ Круг: S = πr², довжина кола C = 2πr.
🔺 Трикутник: S = ½·a·h
▭ Прямокутник: S = a·b
▱ Паралелограм: S = a·h
🔻 Трапеція: S = (a+b)/2·h (півсума основ × висоту)
⭕ Круг: S = πr², довжина кола C = 2πr.
½ У «гострих» фігур (трикутник, трапеція) майже завжди є половинка. Забув ½ — площа вдвічі більша, ніж треба.
📝 Площа трапеції
Основи 6 і 10, висота 4.
S = (6 + 10)/2 · 4 = 8 · 4 = 32.
S = (6 + 10)/2 · 4 = 8 · 4 = 32.
Подібність: площа росте у КВАДРАТі ⚠️
🗣️ Простими словами
Подібні трикутники — однакові за формою, різні за розміром (сторони більші в k разів).
📏 периметри більші в k разів;
🟦 а площі — в k² разів! Це головна пастка теми.
📏 периметри більші в k разів;
🟦 а площі — в k² разів! Це головна пастка теми.
🤯 Сторони більші втричі → площа більша НЕ втричі, а в 9 разів (3²). Розмір росте лінійно, площа — у квадраті.
📝 Відношення площ
Сторони більшого трикутника втричі довші (k = 3).
Площа більша в k² = 9 разів.
Площа більша в k² = 9 разів.
Прямокутний трикутник — золота жила
Тут одразу працюють і Піфагор, і тригонометрія: sin = протилежний/гіпотенуза, cos = прилеглий/гіпотенуза, tg = протилежний/прилеглий. Значення для 30°, 45°, 60° варто знати напам’ять.
Розберемо повільно: від теореми до відповіді 🐢
🗣️ Простими словами
Теорема Піфагора c² = a² + b² працює ТІЛЬКИ в прямокутному трикутнику, і c — завжди гіпотенуза (сторона навпроти прямого кута, найдовша). Якщо шукаєш гіпотенузу — додаєш квадрати катетів і береш корінь. Якщо шукаєш катет — навпаки, ВІДНІМАЄШ: a² = c² − b². Дуже часта помилка — додати замість відняти.
📝 Повний розбір: знайти катет
Гіпотенуза 13, один катет 5. Знайти другий.
① Піфагор: 13² = 5² + b².
② 169 = 25 + b².
③ b² = 169 − 25 = 144.
④ b = √144 = 12. Це трикутник 5-12-13.
① Піфагор: 13² = 5² + b².
② 169 = 25 + b².
③ b² = 169 − 25 = 144.
④ b = √144 = 12. Це трикутник 5-12-13.
🗣️ Простими словами
Площу складної фігури майже завжди можна знайти, розрізавши її на прості: прямокутники й трикутники. Порахуй площу кожного шматка окремо й додай. Або навпаки: добудуй фігуру до прямокутника й відніми зайве. Це працює навіть там, де готової формули немає.
🗣️ Простими словами
Чому при подібності площа росте в k², а не в k? Уяви квадрат 2×2 і збільш сторону вдвічі → 4×4. Сторона зросла в 2 рази, а клітинок стало 16 замість 4 — у 4 рази (тобто 2²). Площа — двовимірна, тож коефіцієнт діє «двічі»: по довжині й по ширині. Звідси й квадрат.
Топ-помилки, за які знімають бали
5 пасток
① Застосовуєш Піфагора до НЕпрямокутного трикутника.
② Береш за гіпотенузу катет.
③ Забуваєш ½ у площі трикутника/трапеції.
④ При подібності множиш площу на k, а не на k².
⑤ Плутаєш площу круга (πr²) з довжиною кола (2πr).
② Береш за гіпотенузу катет.
③ Забуваєш ½ у площі трикутника/трапеції.
④ При подібності множиш площу на k, а не на k².
⑤ Плутаєш площу круга (πr²) з довжиною кола (2πr).
📝 Перевір себе 💪
① Катети 6 і 8 → гіпотенуза 10
② Трикутник a=10, h=6 → S = 30
③ Трапеція основи 4 і 8, h=5 → S = 30
④ k=2 → площа більша в 4 рази
② Трикутник a=10, h=6 → S = 30
③ Трапеція основи 4 і 8, h=5 → S = 30
④ k=2 → площа більша в 4 рази
🧠 Як запам'ятати
«Площа — половина, коли є висота». Трикутник і трапеція мають ½ (чи півсуму). А при подібності площа росте у квадраті коефіцієнта — часта пастка.
Геометрія — це красиво ❤️
🗣️ Простими словами
💡 Де це в житті: Піфагор рахує довжину сходів, діагональ телевізора («50 дюймів» — це діагональ!), відстань напряму. Площі — скільки фарби чи плитки купити.
📐 «50 дюймів» у телевізора — це НЕ ширина, а діагональ (гіпотенуза!). Тому два різні за формою екрани можуть мати однакові «дюйми».
📝 Бонус-задача 🎁
Діагональ прямокутника 3×4: d = √(3²+4²) = 5. Знову трикутник 3-4-5!
✅ Перевір себе
Площа трикутника з основою 6 і висотою 4
- А12
- Б24
- В10
Показати відповідь
Правильно: А — 12
S = ½ · основа · висота = ½ · 6 · 4 = 12.
✅ Перевір себе
Катети прямокутного трикутника 3 і 4. Гіпотенуза = ?
- А5
- Б6
- В7
Показати відповідь
Правильно: А — 5
За Піфагором: √(3² + 4²) = √25 = 5.
🗣️ Простими словами
Якщо зовсім коротко: площа — це «основа × висота» (для гострих фігур — ще ділимо на 2), а Піфагор знаходить третю сторону прямокутного трикутника. І пам’ятай про k² у подібності 😉
Закріпи тему «Планіметрія: трикутники та площі» на тестах 🎯
Пройди тести формату НМТ саме з цієї теми — безкоштовно, з розбором кожної помилки.