🔢
Тема 5 · НМТ з математики Прогресії
Арифметична та геометрична прогресії: формули члена і суми
🗣️ Простими словами
Прогресія — це просто послідовність за правилом. Правил лише два:
🚶 Арифметична — щоразу додаємо те саме число (+d).
🦘 Геометрична — щоразу множимо на те саме число (·q).
Уся тема крутиться навколо цих двох дій.
🚶 Арифметична — щоразу додаємо те саме число (+d).
🦘 Геометрична — щоразу множимо на те саме число (·q).
Уся тема крутиться навколо цих двох дій.
Арифметична: рівні сходинки 🚶
🗣️ Простими словами
Крок називають різницею d. Щоб знайти будь-який член, не рахуючи всі підряд:
aₙ = a₁ + (n − 1)·d
(«стартове число плюс стільки кроків, скільки пройшли»).
aₙ = a₁ + (n − 1)·d
(«стартове число плюс стільки кроків, скільки пройшли»).
Сума перших n членів
Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n — «півсума крайніх × скільки їх».
Якщо aₙ невідомий: Sₙ = (2a₁ + (n−1)d)/2 · n. Це знаменита ідея Гаусса: склади перший з останнім — і множ на кількість пар.
Якщо aₙ невідомий: Sₙ = (2a₁ + (n−1)d)/2 · n. Це знаменита ідея Гаусса: склади перший з останнім — і множ на кількість пар.
📝 Рахуємо a₁₀ і S₁₀
a₁ = 3, d = 4.
a₁₀ = 3 + 9·4 = 39.
S₁₀ = (3 + 39)/2 · 10 = 21 · 10 = 210.
a₁₀ = 3 + 9·4 = 39.
S₁₀ = (3 + 39)/2 · 10 = 21 · 10 = 210.
Геометрична: стрибки, що ростуть 🦘
🗣️ Простими словами
Множник називають знаменником q. Будь-який член:
bₙ = b₁ · qn−1
(«стартове число, помножене на q стільки разів, скільки кроків зробили»).
bₙ = b₁ · qn−1
(«стартове число, помножене на q стільки разів, скільки кроків зробили»).
Сума геометричної
Скінченна: Sₙ = b₁·(qⁿ − 1)/(q − 1) при q ≠ 1.
Нескінченно спадна (|q| < 1, стрибки дрібнішають): S = b₁/(1 − q) — сума прямує до конкретного числа, хоч членів безліч.
Нескінченно спадна (|q| < 1, стрибки дрібнішають): S = b₁/(1 − q) — сума прямує до конкретного числа, хоч членів безліч.
📝 Рахуємо b₅ і нескінченну суму
b₁ = 2, q = 3: b₅ = 2·3⁴ = 2·81 = 162.
Нескінченна, b₁ = 8, q = ½: S = 8/(1 − ½) = 16.
Нескінченна, b₁ = 8, q = ½: S = 8/(1 − ½) = 16.
Яка це прогресія? 🕵️
Тест за 5 секунд
Візьми три сусідні члени.
➕ Стала різниця (a₂−a₁ = a₃−a₂)? → арифметична.
✖️ Стале відношення (a₂÷a₁ = a₃÷a₂)? → геометрична.
Напр. 5, 8, 11 → різниця 3 → арифметична. 5, 10, 20 → відношення 2 → геометрична.
➕ Стала різниця (a₂−a₁ = a₃−a₂)? → арифметична.
✖️ Стале відношення (a₂÷a₁ = a₃÷a₂)? → геометрична.
Напр. 5, 8, 11 → різниця 3 → арифметична. 5, 10, 20 → відношення 2 → геометрична.
Розберемо повільно: яка формула й чому 🐢
🗣️ Простими словами
Формула aₙ = a₁ + (n−1)d читається дослівно: «стартове число ПЛЮС стільки кроків, скільки ти вже зробив». Щоб дійти до 5-го члена, від першого треба зробити 4 кроки (не 5!) — тому й (n−1), а не n. Це головна пастка: між першим і пʼятим членом рівно чотири проміжки.
📝 Повний розбір суми арифметичної
Знайти суму 3 + 7 + 11 + ... + 43.
① Це арифметична: a₁ = 3, d = 4, aₙ = 43.
② Скільки членів? aₙ = a₁ + (n−1)d → 43 = 3 + (n−1)·4 → 40 = (n−1)·4 → n−1 = 10 → n = 11.
③ Сума = (a₁+aₙ)/2 · n = (3+43)/2 · 11 = 23 · 11 = 253.
① Це арифметична: a₁ = 3, d = 4, aₙ = 43.
② Скільки членів? aₙ = a₁ + (n−1)d → 43 = 3 + (n−1)·4 → 40 = (n−1)·4 → n−1 = 10 → n = 11.
③ Сума = (a₁+aₙ)/2 · n = (3+43)/2 · 11 = 23 · 11 = 253.
🗣️ Простими словами
Чому сума = (перший + останній)/2 · кількість? Гаусс помітив: склади ряд із самим собою навпаки. 3+7+11 та 11+7+3 — кожна пара дає однакову суму (14). Пар стільки, скільки членів, а сума кожної = перший+останній. Ділимо на 2, бо порахували двічі. Геніально й просто.
🗣️ Простими словами
Нескінченна геометрична сума S = b₁/(1−q) працює ЛИШЕ коли |q| < 1 (члени дрібнішають). Уяви: 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ... Ти щоразу додаєш половину того, що лишилось до 2. Скільки не додавай — ніколи не перескочиш 2, лише наближаєшся. Тому нескінченна сума = конкретне число.
Топ-помилки, за які знімають бали
5 пасток
① У формулі aₙ береш n замість (n−1).
② Плутаєш +d (арифм.) і ·q (геом.).
③ У bₙ рахуєш qn замість qn−1.
④ Застосовуєш S = b₁/(1−q), коли |q| ≥ 1 (так не можна).
⑤ У сумі арифметичної забуваєш поділити на 2.
② Плутаєш +d (арифм.) і ·q (геом.).
③ У bₙ рахуєш qn замість qn−1.
④ Застосовуєш S = b₁/(1−q), коли |q| ≥ 1 (так не можна).
⑤ У сумі арифметичної забуваєш поділити на 2.
📝 Перевір себе 💪
① a₁=2, d=5: a₆ = 2+5·5 = 27
② S перших 4: 5,7,9,11 → (5+11)/2·4 = 32
③ b₁=3, q=2: b₄ = 3·2³ = 24
④ Нескінченна, b₁=1, q=⅓: 1/(1−⅓) = 3/2
② S перших 4: 5,7,9,11 → (5+11)/2·4 = 32
③ b₁=3, q=2: b₄ = 3·2³ = 24
④ Нескінченна, b₁=1, q=⅓: 1/(1−⅓) = 3/2
🧠 Як запам'ятати
Арифметична «крокує» (+d), геометрична «стрибає» (·q). Сума арифметичної — «півсума крайніх × скільки їх», це формула Гаусса.
Прогресії — усюди навколо 🔢
🗣️ Простими словами
💡 Де це в житті: зарплата, що росте на однакову суму — арифметична. Вклад, що росте на відсоток — геометрична. Навіть гучність і землетруси міряють геометрично.
📝 Бонус-задача 🎁
Сума 1+2+3+...+100 = (1+100)/2 · 100 = 5050 (той самий трюк Гаусса).
🗣️ Простими словами
Якщо зовсім коротко: арифметична — рівні сходинки (+d), геометрична — стрибки, що ростуть (·q). Запам’ятай дві формули члена й дві формули суми — і тема закрита 😉
Закріпи тему «Прогресії» на тестах 🎯
Пройди тести формату НМТ саме з цієї теми — безкоштовно, з розбором кожної помилки.