📈
Тема 4 · НМТ з математики Функції та графіки
Лінійна, квадратична, обернена функції; область визначення; читання графіків
🗣️ Простими словами
Функція — це правило, яке кожному x дає рівно один y. Вкидаєш число — отримуєш відповідь.
📥 Область визначення (D) — які x можна вкидати.
📤 Область значень (E) — які y можуть вийти.
📥 Область визначення (D) — які x можна вкидати.
📤 Область значень (E) — які y можуть вийти.
🎰 Головне правило функції: один x → один y. Якщо одному x відповідає два y — це вже не функція, а зламаний автомат.
Пряма: y = kx + b 📏
🗣️ Простими словами
Лінійна функція малює пряму. Два числа кермують нею:
📈 k — нахил: k>0 пряма зростає (↗), k<0 — спадає (↘).
🎯 b — де пряма перетинає вісь y (звідки стартує).
📈 k — нахил: k>0 пряма зростає (↗), k<0 — спадає (↘).
🎯 b — де пряма перетинає вісь y (звідки стартує).
📝 Точка на графіку
Чи належить точка (2; 5) графіку y = 2x + 1?
Підставляємо x=2: 2·2 + 1 = 5. Збіглося → точка належить.
Підставляємо x=2: 2·2 + 1 = 5. Збіглося → точка належить.
Парабола: настрій вирішує знак a 🙂🙁
🗣️ Простими словами
Квадратична функція y = ax² + bx + c малює параболу.
🙂 a > 0 — вітки вгору, знизу «дно» (мінімум).
🙁 a < 0 — вітки вниз, зверху «гора» (максимум).
📍 Вершина стоїть при x₀ = −b/(2a), а нулі — там, де парабола ріже вісь x.
🙂 a > 0 — вітки вгору, знизу «дно» (мінімум).
🙁 a < 0 — вітки вниз, зверху «гора» (максимум).
📍 Вершина стоїть при x₀ = −b/(2a), а нулі — там, де парабола ріже вісь x.
😏 Побачив ax² — одразу дивись на знак a. Плюс — усмішка, мінус — смуток. Настрій параболи видно за секунду.
Де x «заборонені» — область визначення 🚫
🗣️ Простими словами
Іноді не всі x можна вкидати в машинку. Два найчастіші «стоп-знаки» в НМТ:
➗ дріб — знаменник не може бути 0;
√ корінь — під ним не може бути відʼємне.
➗ дріб — знаменник не може бути 0;
√ корінь — під ним не може бути відʼємне.
📝 Знаходимо заборони
y = 1/(x−3): знаменник ≠ 0 → x ≠ 3.
y = √(x−2): під коренем ≥ 0 → x ≥ 2.
y = √(x−2): під коренем ≥ 0 → x ≥ 2.
🙅 Ділити на нуль і брати корінь з мінуса — два способи «зламати» функцію. Саме там і ховаються заборонені x.
Обернена пропорційність y = k/x
Графік — гіпербола, дві окремі вітки. Область визначення: x ≠ 0. При k > 0 вітки сидять у І та ІІІ чвертях.
Як читати графік 👀
Три головні запитання до графіка
• Нулі функції — де лінія перетинає вісь x (там y = 0).
• Значення в точці — піднімись від потрібного x вертикально до лінії й глянь на y.
• Де зростає — там, де графік іде вгору зліва направо.
• Значення в точці — піднімись від потрібного x вертикально до лінії й глянь на y.
• Де зростає — там, де графік іде вгору зліва направо.
Розберемо повільно: читаємо графік як книгу 🐢
🗣️ Простими словами
Графік — це таблиця «x → y», намальована точками. Щоб знайти y при заданому x: стань на цей x на горизонтальній осі, піднімись (чи опустись) вертикально до лінії графіка, а тоді подивись ліворуч на вертикальну вісь — там і буде y. Це буквально «пальцем по графіку».
📝 Повний розбір: будуємо пряму за двома точками
Пряма проходить через (0; 1) і (2; 5). Знайти y = kx + b.
① b — це y при x=0, тобто b = 1.
② k — наскільки y виріс, коли x виріс на 1. Від (0;1) до (2;5): x зріс на 2, y зріс на 4 → k = 4/2 = 2.
③ Отже y = 2x + 1. Перевірка при x=2: 2·2+1 = 5 ✓.
① b — це y при x=0, тобто b = 1.
② k — наскільки y виріс, коли x виріс на 1. Від (0;1) до (2;5): x зріс на 2, y зріс на 4 → k = 4/2 = 2.
③ Отже y = 2x + 1. Перевірка при x=2: 2·2+1 = 5 ✓.
🗣️ Простими словами
Вершину параболи x₀ = −b/(2a) легко зрозуміти: парабола симетрична, і вершина стоїть рівно посередині між коренями. А середина коренів формули (−b ± √D)/(2a) — це якраз −b/(2a) (бо ± √D додаються й віднімаються симетрично). Тому вершина — це «центр» параболи.
🗣️ Простими словами
Область визначення — це просто список «дозволених» x. Два стоп-сигнали: знаменник дробу не сміє дорівнювати нулю (ділити на 0 не можна), а вираз під квадратним коренем не сміє бути відʼємним (√ від мінуса не існує серед звичайних чисел). Знайшов ці «небезпечні» x — виключив їх, решта дозволена.
Топ-помилки, за які знімають бали
5 пасток
① Плутати k і b у прямій.
② Думати, що a>0 — це «вниз» (навпаки, вгору 🙂).
③ Забути про x≠0 у y = k/x.
④ Не перевірити знаменник/корінь при пошуку D.
⑤ Шукати y при x, який поза областю визначення.
② Думати, що a>0 — це «вниз» (навпаки, вгору 🙂).
③ Забути про x≠0 у y = k/x.
④ Не перевірити знаменник/корінь при пошуку D.
⑤ Шукати y при x, який поза областю визначення.
📝 Перевір себе 💪
① y = −3x + 2 зростає чи спадає? → спадає (k<0)
② Вершина y = x² − 4x: x₀ = 2
③ D для y = √(x+1): x ≥ −1
④ (0; 2) на y = 3x + 2? → так
② Вершина y = x² − 4x: x₀ = 2
③ D для y = √(x+1): x ≥ −1
④ (0; 2) на y = 3x + 2? → так
🧠 Як запам'ятати
«k — нахил, b — старт». У прямій b показує, звідки вона стартує на осі y, а знак k каже, вгору чи вниз вона йде. Парабола «усміхається» при a > 0 і «сумує» при a < 0.
Ще про графіки — і все стане простим 📈
🗣️ Простими словами
💡 Графіки — мова, якою говорить увесь світ: курс валют, температура за день, зростання підписників. Уміти «читати лінію» = розуміти будь-яку інфографіку.
🔎 Головне питання до області визначення: «що зламає функцію?». Ділення на нуль і корінь з мінуса — ось де ховаються заборонені x.
📝 Бонус-задача 🎁
Область визначення y = 1/√(x−2): під коренем > 0 (бо ще й у знаменнику) → x > 2.
✅ Перевір себе
Графік функції y = kx + b — це…
- Апряма
- Бпарабола
- Вгіпербола
Показати відповідь
Правильно: А — пряма
Лінійна функція y = kx + b завжди дає ПРЯМУ.
✅ Перевір себе
Якщо k < 0 у y = kx + b, функція…
- Азростає
- Бспадає
- Встала
Показати відповідь
Правильно: Б — спадає
Від’ємний кутовий коефіцієнт k → функція спадає (пряма «вниз»).
🗣️ Простими словами
Якщо зовсім коротко: функція — машинка «x → y», графік — її фото. Найчастіше в НМТ треба або підставити точку, або знайти заборонені x (дріб і корінь) 😉
Закріпи тему «Функції та графіки» на тестах 🎯
Пройди тести формату НМТ саме з цієї теми — безкоштовно, з розбором кожної помилки.