𝑥
Тема 3 · НМТ з математики Рівняння та нерівності
Лінійні й квадратні рівняння, дискримінант, теорема Вієта, нерівності
🗣️ Простими словами
Рівняння — це терези ⚖️. Ліворуч і праворуч від «=» лежить однакова вага. Що робиш з одним боком — те саме зроби з іншим, і рівновага збережеться. Мета одна: лишити x самого на одній шальці.
⚖️ Перенесли доданок через «=» — змінили знак. Був +7 зліва → став −7 справа. Терези не брешуть.
Лінійні рівняння — найпростіше
🗣️ Простими словами
Лінійне рівняння виглядає як ax + b = 0 (x лише в першому степені). План завжди однаковий:
① усі доданки з x — вліво, числа — вправо;
② зведи подібні;
③ поділи на число перед x. Один x — одна відповідь.
① усі доданки з x — вліво, числа — вправо;
② зведи подібні;
③ поділи на число перед x. Один x — одна відповідь.
📝 Крок за кроком
3x − 7 = 5
3x = 5 + 7 = 12
x = 12 ÷ 3 = 4.
3x = 5 + 7 = 12
x = 12 ÷ 3 = 4.
Квадратні рівняння 🎯
🗣️ Простими словами
Квадратне має x² і виглядає як ax² + bx + c = 0. Його графік — парабола, тому коренів може бути два, один або жодного — залежно, як парабола лягла на вісь. Хто це вирішує? Дискримінант.
Дискримінант — «детектор коренів»
Для ax² + bx + c = 0: D = b² − 4ac.
• D > 0 → два корені: x = (−b ± √D) / (2a)
• D = 0 → один корінь: x = −b/(2a)
• D < 0 → дійсних коренів немає (парабола не дістає до осі).
• D > 0 → два корені: x = (−b ± √D) / (2a)
• D = 0 → один корінь: x = −b/(2a)
• D < 0 → дійсних коренів немає (парабола не дістає до осі).
📝 Через дискримінант
x² − 5x + 6 = 0
D = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1
x = (5 ± 1)/2 → x₁ = 3, x₂ = 2.
D = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1
x = (5 ± 1)/2 → x₁ = 3, x₂ = 2.
🕵️ D — це детектор: спершу рахуй дискримінант, і вже знаєш, скільки коренів шукати. D від’ємний — можна не мучитись, коренів нема.
Теорема Вієта — лайфхак для усного
🗣️ Простими словами
Якщо перед x² стоїть 1 (зведене x² + px + q = 0), корені часто вгадуються за секунду. Шукаємо два числа, у яких:
➕ сума = −p (число з протилежним знаком)
✖️ добуток = q.
➕ сума = −p (число з протилежним знаком)
✖️ добуток = q.
📝 Через Вієта — без дискримінанта
x² − 5x + 6 = 0: два числа з сумою 5 і добутком 6. Перебираємо: 2 і 3 ✅.
Корені: 2 і 3. Швидше, ніж рахувати D.
Корені: 2 і 3. Швидше, ніж рахувати D.
Нерівності — та сама пастка ⚠️
🗣️ Простими словами
Нерівність розвʼязуємо так само, як рівняння, але з одним залізним правилом:
🔄 якщо ділиш або множиш на відʼємне число — перевертай знак нерівності. Відповідь тут не число, а проміжок.
🔄 якщо ділиш або множиш на відʼємне число — перевертай знак нерівності. Відповідь тут не число, а проміжок.
💀 Забув перевернути знак при діленні на мінус — і вся відповідь дзеркальна. Найдорожча помилка теми.
📝 Зі зміною знака
−2x > 6
ділимо обидві частини на −2 і перевертаємо знак:
x < −3.
ділимо обидві частини на −2 і перевертаємо знак:
x < −3.
Квадратна нерівність — метод параболи
Знайди корені, намалюй параболу. Гілки вгору (a > 0): вираз < 0 між коренями, > 0 зовні. Метод інтервалів завжди рятує — не тримай знаки в голові, дивись на малюнок.
Розберемо повільно: квадратне до останнього кроку 🐢
🗣️ Простими словами
Чому в квадратному рівнянні буває саме ДВА корені? Бо графік — парабола, а вона схожа на дугу, яка може перетнути горизонтальну вісь у двох місцях. Кожен перетин — це корінь. Якщо парабола лише торкнулась осі — корінь один; якщо висить над віссю — коренів нема. Дискримінант просто вимірює цю висоту.
📝 Повний розбір через дискримінант
Розвʼязати 2x² − 7x + 3 = 0.
① Виписуємо: a = 2, b = −7, c = 3.
② D = b² − 4ac = (−7)² − 4·2·3 = 49 − 24 = 25.
③ D > 0 → два корені. √D = √25 = 5.
④ x = (−b ± √D)/(2a) = (7 ± 5)/4.
⑤ x₁ = 12/4 = 3, x₂ = 2/4 = 0,5.
① Виписуємо: a = 2, b = −7, c = 3.
② D = b² − 4ac = (−7)² − 4·2·3 = 49 − 24 = 25.
③ D > 0 → два корені. √D = √25 = 5.
④ x = (−b ± √D)/(2a) = (7 ± 5)/4.
⑤ x₁ = 12/4 = 3, x₂ = 2/4 = 0,5.
🗣️ Простими словами
Знак «−b» у формулі часто губиться. Якщо b = −7, то −b = +7 (мінус на мінус дає плюс). А b² = (−7)² = 49 — теж додатне, бо будь-яке число в квадраті невідʼємне. Дві найчастіші помилки в дискримінанті — саме тут, тому проговорюй знаки вголос.
🗣️ Простими словами
Нерівність — це рівняння з характером. Розвʼязуєш так само, але памʼятай про одне: помножив або поділив на відʼємне — перевертай знак. Чому? Бо −2 < 3, але якщо помножити обидва боки на −1, стане 2 > −3 — порядок перевернувся. Відʼємне число «дзеркалить» нерівність.
Топ-помилки, за які знімають бали
5 пасток
① Переносиш доданок і забуваєш змінити знак.
② У D помиляєшся зі знаком b² (мінус у квадраті = плюс).
③ За Вієтом береш суму = p замість −p.
④ Ділиш нерівність на мінус і не перевертаєш знак.
⑤ Пишеш «коренів немає» при D = 0 (там один корінь).
② У D помиляєшся зі знаком b² (мінус у квадраті = плюс).
③ За Вієтом береш суму = p замість −p.
④ Ділиш нерівність на мінус і не перевертаєш знак.
⑤ Пишеш «коренів немає» при D = 0 (там один корінь).
📝 Перевір себе 💪
① 5x + 3 = 18 → x = 3
② x² − 7x + 12 = 0 → 3 і 4 (Вієта)
③ D для x² + 2x + 5: 4 − 20 = −16 → коренів немає
④ −3x ≤ 9 → x ≥ −3
② x² − 7x + 12 = 0 → 3 і 4 (Вієта)
③ D для x² + 2x + 5: 4 − 20 = −16 → коренів немає
④ −3x ≤ 9 → x ≥ −3
🧠 Як запам'ятати
«Ділиш на мінус — перевертай знак». Найчастіша помилка в нерівностях — забути це зробити. І пам’ятай: D — це «детектор кількості коренів».
Закріплюємо — і ти майстер рівнянь ⚖️
🗣️ Простими словами
💡 Рівняння — це не «шкільна абстракція»: так рахують, скільки треба матеріалу, за скільки годин зустрінуться потяги, яку ціну поставити. Скрізь, де є невідоме — там рівняння.
🕵️ Перш ніж рахувати квадратне рівняння — спитай дискримінант. Він як детектив: одразу каже, скільки коренів шукати (чи взагалі шукати).
📝 Бонус-задача 🎁
x² − 9 = 0. Тут b = 0, тож простіше: x² = 9 → x = ±3 (обидва корені!).
✅ Перевір себе
Корінь рівняння 2x + 6 = 0
- Аx = 3
- Бx = −3
- Вx = −6
Показати відповідь
Правильно: Б — x = −3
2x = −6 → x = −3.
✅ Перевір себе
За теоремою Вієта для x² − 5x + 6 = 0 сума коренів дорівнює
- А5
- Б6
- В−5
Показати відповідь
Правильно: А — 5
Сума коренів = −b/a = −(−5)/1 = 5 (а добуток = 6).
🗣️ Простими словами
Якщо зовсім коротко: рівняння — терези (роби однаково з двох боків), квадратне — спитай дискримінант про кількість коренів, а в нерівностях свято бережи правило «мінус перевертає знак» 😉
Закріпи тему «Рівняння та нерівності» на тестах 🎯
Пройди тести формату НМТ саме з цієї теми — безкоштовно, з розбором кожної помилки.