√
Тема 2 · НМТ з математики Степені та корені
Властивості степенів, від’ємні та дробові показники, дії з коренями
🗣️ Простими словами
Степінь — це просто коротко записане множення того самого числа на себе.
2⁴ означає «перемнож чотири двійки»: 2·2·2·2 = 16.
Внизу — основа (кого множимо), вгорі — показник (скільки разів). І все.
2⁴ означає «перемнож чотири двійки»: 2·2·2·2 = 16.
Внизу — основа (кого множимо), вгорі — показник (скільки разів). І все.
Три золоті правила степенів
🗣️ Простими словами
Коли основа однакова, працюють три правила — і 90% задач стають усними:
✖️ Множиш → показники додаєш: aᵐ·aⁿ = am+n
➗ Ділиш → показники віднімаєш: aᵐ÷aⁿ = am−n
🔁 Степінь у степінь → показники множиш: (aᵐ)ⁿ = am·n
✖️ Множиш → показники додаєш: aᵐ·aⁿ = am+n
➗ Ділиш → показники віднімаєш: aᵐ÷aⁿ = am−n
🔁 Степінь у степінь → показники множиш: (aᵐ)ⁿ = am·n
📝 Спробуй три правила
2³ · 2⁴ = 23+4 = 2⁷ = 128.
5⁶ ÷ 5⁴ = 56−4 = 5² = 25.
(2²)³ = 22·3 = 2⁶ = 64.
5⁶ ÷ 5⁴ = 56−4 = 5² = 25.
(2²)³ = 22·3 = 2⁶ = 64.
Увага: правила лише для ОДНАКОВОЇ основи
Не можна складати показники в 2³·5² — основи різні! А от у 2³·2⁵ — можна. Перш ніж додавати показники, звірся: чи знизу однакове число.
Дивні показники: 0, мінус, дріб
🗣️ Простими словами
Показник не завжди «звичайне» число — і це не страшно:
0️⃣ a⁰ = 1 — будь-що (крім 0) у нульовому степені = 1.
➖ a−n = 1/aⁿ — мінус угорі означає «переверни в дріб», а не «стало від’ємним».
½ a1/n = ⁿ√a — дробовий показник — це корінь.
0️⃣ a⁰ = 1 — будь-що (крім 0) у нульовому степені = 1.
➖ a−n = 1/aⁿ — мінус угорі означає «переверни в дріб», а не «стало від’ємним».
½ a1/n = ⁿ√a — дробовий показник — це корінь.
📝 Дивні показники
7⁰ = 1.
3−2 = 1/3² = 1/9.
(2/3)−1 = 3/2 (перевернули дріб).
161/2 = √16 = 4.
3−2 = 1/3² = 1/9.
(2/3)−1 = 3/2 (перевернули дріб).
161/2 = √16 = 4.
Корінь — це степінь навпаки 🌱
🗣️ Простими словами
√a питає просте: «яке число піднесли до квадрата, щоб вийшло a?».
√9 = 3, бо 3² = 9. √25 = 5, бо 5² = 25.
Важливо: корінь беруть лише з невід’ємних чисел, і відповідь теж невід’ємна.
√9 = 3, бо 3² = 9. √25 = 5, бо 5² = 25.
Важливо: корінь беруть лише з невід’ємних чисел, і відповідь теж невід’ємна.
Спрощуємо потворні корені
🗣️ Простими словами
Корінь із «негарного» числа часто можна зменшити: шукаємо квадратний множник (4, 9, 16, 25…) і виносимо його з-під кореня.
√50 = √(25·2) = √25·√2 = 5√2. П’ятірка «вийшла», бо 25 — повний квадрат.
√50 = √(25·2) = √25·√2 = 5√2. П’ятірка «вийшла», бо 25 — повний квадрат.
📝 Виносимо множник
√50 = √(25·2) = 5√2.
√72 = √(36·2) = 6√2.
√12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3 (зводимо подібні, як 2x + 3x).
√72 = √(36·2) = 6√2.
√12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3 (зводимо подібні, як 2x + 3x).
Корінь у знаменнику — приберіть його
У відповідях НМТ не люблять √ знизу. Множимо верх і низ на цей корінь:
1/√2 = (1·√2)/(√2·√2) = √2/2. Це «раціоналізація» — стандартний фінальний крок.
1/√2 = (1·√2)/(√2·√2) = √2/2. Це «раціоналізація» — стандартний фінальний крок.
Розберемо повільно: чому правила саме такі 🐢
🗣️ Простими словами
Правило aᵐ·aⁿ = am+n не вивчене «з неба» — його видно, якщо розписати. 2³·2² = (2·2·2)·(2·2) = 2·2·2·2·2 = 2⁵. Ми просто порахували, скільки всього двійок перемножили: 3 + 2 = 5. Тому показники й додаються. Раз зрозумів це — ніколи не переплутаєш із множенням.
🗣️ Простими словами
Так само з мінусом. Чому a−n = 1/aⁿ? Дивись на ланцюжок степенів двійки: 8, 4, 2, 1… щоразу ділимо на 2. Продовжимо вниз: після 2⁰=1 йде ½, потім ¼. Тобто 2−1=½, 2−2=¼. Мінус угорі — це просто «крок у зворотний бік», у дроби. Жодного «мінус результату».
📝 Повний розбір спрощення кореня
Спростити √72.
① Шукаємо найбільший квадрат-дільник 72. Це 36 (бо 72 = 36·2).
② Розбиваємо корінь: √72 = √(36·2) = √36 · √2.
③ √36 = 6, а √2 лишається під коренем.
Відповідь: 6√2. Перевірка: (6√2)² = 36·2 = 72 ✓.
① Шукаємо найбільший квадрат-дільник 72. Це 36 (бо 72 = 36·2).
② Розбиваємо корінь: √72 = √(36·2) = √36 · √2.
③ √36 = 6, а √2 лишається під коренем.
Відповідь: 6√2. Перевірка: (6√2)² = 36·2 = 72 ✓.
🗣️ Простими словами
Дробовий показник — це просто інша назва кореня: a1/2 = √a, a1/3 = ³√a. Чому? Бо (a1/2)² = a1/2·2 = a¹ = a. Тобто a1/2 у квадраті дає a — а це і є означення √a. Степені й корені — одна родина.
Топ-помилки, за які знімають бали
5 пасток
① Рахувати 2³ як 2·3 = 6 (а треба 8).
② Додавати показники при різних основах.
③ Думати, що 3−2 від’ємне (це 1/9).
④ Писати √9 = ±3 (корінь дає лише +3).
⑤ Забути винести квадратний множник із-під кореня.
② Додавати показники при різних основах.
③ Думати, що 3−2 від’ємне (це 1/9).
④ Писати √9 = ±3 (корінь дає лише +3).
⑤ Забути винести квадратний множник із-під кореня.
📝 Перевір себе 💪
① 2⁵ = 32
② 3³·3² = 3⁵ = 243
③ 2−3 = 1/8
④ √48 = 4√3
⑤ (√5)² = 5
② 3³·3² = 3⁵ = 243
③ 2−3 = 1/8
④ √48 = 4√3
⑤ (√5)² = 5
🧠 Як запам'ятати
«Множиш — додавай, ділиш — віднімай, степінь у степінь — перемножуй».
А мінус у показнику — це сигнал «переверни в дріб», не «стало від’ємним».
А мінус у показнику — це сигнал «переверни в дріб», не «стало від’ємним».
Степені — це неймовірна сила 🐇
🗣️ Простими словами
💡 Де це в житті: памʼять компʼютера рахують степенями двійки — 2¹⁰ ≈ 1000 (кілобайт), 2²⁰ ≈ мільйон (мегабайт). Десять подвоєнь — і вже тисяча!
📝 Бонус-задача 🎁
Спрости (2³ · 2⁵) ÷ 2⁶ = 23+5−6 = 2² = 4.
🗣️ Простими словами
Якщо зовсім коротко: степінь — це коротке множення, корінь — обернена дія до квадрата. Запам’ятай три правила показників і звичку виносити квадратний множник — і тема закрита 😉
Закріпи тему «Степені та корені» на тестах 🎯
Пройди тести формату НМТ саме з цієї теми — безкоштовно, з розбором кожної помилки.