Скільки завдань у НМТ з математики?

Блок математики містить 22 завдання різних типів: із вибором однієї відповіді, на встановлення відповідності та відкриті завдання з короткою відповіддю.

Чи можна користуватись калькулятором?

Ні, на НМТ калькулятор заборонено. Тому важливо відпрацювати усні обчислення й знати формули напам’ять.

Які теми найважливіші для високого балу?

Найбільше балів дають рівняння, функції, прогресії та стереометрія. Саме на них варто зробити акцент у підготовці.

Чи можна підготуватись з нуля?

Так. У NaMeTi програма побудована від простого до складного — починаєш з базової теорії та формул, а потім переходиш до тестів формату НМТ.

📌 Шпаргалка НМТ 2026 · Математика

Шпаргалка НМТ з математики

Усе найважливіше з математики стисло — 32+ понять і формул, головні правила, мнемоніки та пастки. Повтори перед іспитом, а тоді закріпи на платформі.

🚀 Продовжити на платформі ▶ Тести з математики 📚 Уся підготовка

Ключові поняття та формули з математики

ДискримінантD = b² − 4ac

Для ax²+bx+c=0: D = b² − 4ac. D>0 — два корені, D=0 — один, D<0 — коренів нема. Корені: x = (−b ± √D)/(2a).

⚠️ Якщо a=0 — рівняння НЕ квадратне (лінійне); не загуби знак «−b».

Теорема Вієтаx₁+x₂ = −p, x₁·x₂ = q

Для зведеного x²+px+q=0: x₁+x₂ = −p, x₁·x₂ = q. Швидко знаходить чи перевіряє корені.

⚠️ Працює для ЗВЕДЕНОГО (a=1). Сума коренів = −p (мінус!).

Метод інтервалів+ − + − на числовій прямій

Для нерівностей: знаходимо нулі, відкладаємо на прямій, визначаємо знак на кожному проміжку. У парному (кратному) корені знак НЕ змінюється.

⚠️ Стеж за строгістю: ○ (порожня) для «>», ● (зафарбована) для «≥».

ОДЗ (область допустимих значень)√ ≥ 0, ÷ ≠ 0, log > 0

Обмеження: під коренем парного ст. ≥0, у знаменнику ≠0, під логарифмом >0, в arcsin/arccos аргумент ∈[−1;1].

⚠️ Забув ОДЗ — отримав «зайвий» корінь. Завжди перевіряй знайдені корені.

Модуль числа|a| = a, якщо a≥0; −a, якщо a<0

|a| — відстань до нуля: |a|=a, якщо a≥0; |a|=−a, якщо a<0. Завжди |a|≥0.

⚠️ |x−3| розкривай через два випадки; «−a» для відʼємного a — це ДОДАТНЕ число.

Властивості степенівaᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ, aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ, a⁻ⁿ=1/aⁿ, a⁰=1 (a≠0).

⚠️ aᵐ·aⁿ ≠ aᵐⁿ — показники ДОДАЮТЬСЯ, а не множаться.

Корінь n-го степеня√(a²) = |a|

ⁿ√a — число, що в n-му степені дає a. Арифметичний корінь ≥0. √(a²)=|a|.

⚠️ √(a²)=|a|, а НЕ a (важливо для відʼємних значень).

Формули скороченого множенняa² − b² = (a − b)(a + b)

(a±b)²=a²±2ab+b²; a²−b²=(a−b)(a+b); (a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³; a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²).

⚠️ a²+b² НЕ розкладається; у сумі/різниці кубів — «неповний квадрат» (∓ab).

Логарифмlogₐb = c ⟺ aᶜ = b

logₐb=c ⟺ aᶜ=b (a>0, a≠1, b>0). log(xy)=logx+logy; log(x/y)=logx−logy; log(xⁿ)=n·logx.

⚠️ ОДЗ: основа >0,≠1; аргумент >0. logₐ(xy) ≠ logₐx·logₐy.

Показникове рівнянняaᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ ⟺ f(x) = g(x)

aᶠ⁽ˣ⁾=aᵍ⁽ˣ⁾ ⟺ f(x)=g(x) (a>0, a≠1). Зводимо обидві частини до однакової основи.

⚠️ aˣ>0 завжди — рівняння «aˣ = відʼємне» коренів не має.

Основна тригонометрична тотожністьsin²α + cos²α = 1

sin²α + cos²α = 1. Наслідки: tgα=sinα/cosα; 1+tg²α=1/cos²α; 1+ctg²α=1/sin²α.

⚠️ sin²α = (sinα)², а не sin(α²); знак функції залежить від чверті.

Формули зведення90°, 270° → міняй; 180°, 360° → ні

Для 90°±α і 270°±α функція ЗМІНЮЄТЬСЯ (sin↔cos, tg↔ctg); для 180°±α і 360°±α — НЕ змінюється. Знак — за чвертю кута.

⚠️ Функція міняється лише для 90° і 270° (непарних кратних 90°).

Область визначення функціїD(f) — усі допустимі x

D(f) — усі x, за яких функція існує. Обмеження: знаменник ≠0, корінь парного ст. ≥0, під log >0.

⚠️ Не плутай D(f) (значення x) з E(f) — областю ЗНАЧЕНЬ (за y).

Квадратична функціяx₀ = −b / (2a)

y=ax²+bx+c — парабола. Вершина: x₀=−b/(2a). a>0 — вітки вгору (є мінімум), a<0 — вниз (максимум).

⚠️ x₀=−b/(2a) (мінус!); напрям віток визначає знак a, не c.

Лінійна функціяy = kx + b

Пряма. k — кутовий коефіцієнт (нахил), b — точка перетину з Oy. k>0 зростає, k<0 спадає.

⚠️ Паралельні прямі мають однакові k; перпендикулярні — k₁·k₂=−1.

Похідна(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

Швидкість зміни функції; геометрично — кутовий коеф. дотичної. (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹, (sinx)′=cosx, (cosx)′=−sinx, (eˣ)′=eˣ, (lnx)′=1/x.

⚠️ Похідна константи = 0; (cosx)′=−sinx (мінус!).

Дослідження функції (екстремуми)f′ > 0 ↑ , f′ < 0 ↓

f′(x)>0 — функція зростає; f′(x)<0 — спадає. Екстремум — де f′ змінює знак: максимум (+→−), мінімум (−→+).

⚠️ f′=0 — лише «підозра» на екстремум; треба перевірити зміну знака.

Арифметична прогресіяaₙ = a₁ + (n − 1)d

Стала різниця d: aₙ=a₁+(n−1)d. Сума: Sₙ=(a₁+aₙ)/2·n. Ознака: aₙ=(aₙ₋₁+aₙ₊₁)/2.

⚠️ У формулі aₙ — саме (n−1), не n; d може бути відʼємним.

Геометрична прогресіяbₙ = b₁ · qⁿ⁻¹

Сталий знаменник q: bₙ=b₁·qⁿ⁻¹. Сума: Sₙ=b₁(qⁿ−1)/(q−1). Нескінченна при |q|<1: S=b₁/(1−q).

⚠️ q≠0 і q≠1; ознака — bₙ²=bₙ₋₁·bₙ₊₁ (КВАДРАТ середнього).

Теорема Піфагораc² = a² + b²

У прямокутному трикутнику: c²=a²+b² (гіпотенуза² = сума квадратів катетів).

⚠️ Лише для ПРЯМОКУТНОГО трикутника; гіпотенуза — найбільша сторона (напроти прямого кута).

Площа трикутникаS = ½ · a · h

S=½·a·h (сторона·висоту). Також S=½·ab·sinγ; формула Герона: S=√(p(p−a)(p−b)(p−c)), де p=(a+b+c)/2.

⚠️ Не забувай ½; у Герона p — ПІВпериметр.

Теореми синусів і косинусівc² = a² + b² − 2ab·cosC

Синусів: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R. Косинусів: c²=a²+b²−2ab·cosC (узагальнення Піфагора).

⚠️ Косинусів працює для будь-якого трикутника; при C=90° cosC=0 → Піфагор.

Коло і кругC = 2πR, S = πR²

Довжина кола C=2πR; площа круга S=πR². Вписаний кут = ½ центрального, що спирається на ту саму дугу.

⚠️ Кут, що спирається на діаметр, = 90°; вписаний = половина центрального.

Площі чотирикутниківтрапеція: S = ½(a + b)·h

Прямокутник S=ab; паралелограм S=a·h=ab·sinα; ромб S=½d₁d₂; трапеція S=½(a+b)·h.

⚠️ Трапеція — півсума основ · висоту; ромб — через ДІАГОНАЛІ.

Обʼєми тілпіраміда / конус: V = ⅓ · S · h

Призма/циліндр: V=S·h. Піраміда/конус: V=⅓·S·h. Куля: V=4/3·πR³.

⚠️ Піраміда й конус — із коефіцієнтом ⅓; куля — 4/3·πR³.

Площі поверхонь тілкуля: S = 4πR²

Куля: S=4πR². Циліндр (бічна): 2πRh. Конус (бічна): πRl, де l — твірна.

⚠️ У конусі бічна поверхня — через твірну l, а не висоту h.

КомбінаторикаCₙᵏ = n! / (k!(n−k)!)

Перестановки Pₙ=n!. Розміщення (важливий порядок): Aₙᵏ=n!/(n−k)!. Комбінації (порядок НЕ важливий): Cₙᵏ=n!/(k!(n−k)!).

⚠️ Порядок важливий → розміщення (A); не важливий → комбінації (C).

ЙмовірністьP = m / n

Сприятливі до всіх рівноможливих наслідків; 0≤P≤1. P(неможливої)=0, P(достовірної)=1.

⚠️ Наслідки мають бути РІВНОМОЖЛИВІ; сума ймовірностей повної групи =1.

Відсотки та пропорціїp% від a = a · p / 100

1%=0,01 частини. «p% від a» = a·p/100. Пропорція a/b=c/d ⟺ a·d=b·c (навхрест).

⚠️ Підвищити на 20%, потім знизити на 20% — це НЕ початкове число (база різна).

Координати на площиніd = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)

Відстань між точками: d=√((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²). Середина відрізка: ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2).

⚠️ У відстані — квадрати РІЗНИЦЬ під коренем; середина — півсума координат.

Векториa · b = 0 ⟺ a ⊥ b

Довжина |a|=√(x²+y²). Скалярний добуток a·b=x₁x₂+y₁y₂=|a||b|cosφ. Перпендикулярні ⟺ a·b=0.

⚠️ Скалярний добуток =0 → вектори перпендикулярні; колінеарні → координати пропорційні.

Ознаки подільностіна 3: сума цифр ділиться на 3

На 2 — остання цифра парна; на 3 і 9 — сума цифр ділиться; на 5 — 0 або 5; на 10 — 0; на 4 — дві останні цифри.

⚠️ На 3/9 — саме СУМА цифр; на 4 — число з двох останніх цифр.

Головне по темах — математики

Рівняння та нерівності

ОДЗ — перше, що шукаєш

Знаменник ≠ 0; під коренем ≥ 0; аргумент логарифма > 0 (основа > 0, ≠ 1). Без ОДЗ відповідь може бути хибною.

⚠️ Знайдений корінь, що не входить в ОДЗ, — сторонній, його відкидають.

Рівносильні перетворення

Можна додавати/множити обидві частини, але множення на вираз зі змінною може додати/втратити корені — перевіряй.

Метод інтервалів

Для нерівностей: познач корені на прямій, визнач знак у кожному проміжку й вибери потрібні.

⚠️ Стеж, чи корінь входить (≥, ≤ — зафарбована точка) чи ні (>, < — порожня).

Функції та графіки

Область визначення й значень

D(f) — усі допустимі x; E(f) — усі можливі y. Часто питають саме їх.

Властивості

Парна (симетрія відносно OY, f(−x)=f(x)), непарна (симетрія відносно початку). Зростає/спадає — за напрямом графіка.

Перетворення графіка

f(x)+a — зсув вгору; f(x−a) — зсув ВПРАВО; −f(x) — відбиття від OX; f(−x) — від OY.

⚠️ f(x−3) зсуває графік вправо (а не вліво), хоч у дужках мінус.

Тригонометрія

Одиничне коло

cos — це x, sin — це y на колі. Значення 0°/30°/45°/60°/90° варто знати напамʼять.

Знаки по чвертях

«Усі — Sin — Tg — Cos» (I–IV): у I всі +, у II лише sin +, у III лише tg +, у IV лише cos +.

Періодичність

sin і cos повторюються через 2π, tg — через π.

⚠️ Розвʼязуючи рівняння, не забувай додати період (+2πn або +πn) — коренів безліч.

Похідна

Геометричний зміст

Похідна у точці = кутовий коефіцієнт (тангенс кута нахилу) дотичної до графіка.

Дослідження функції

f′ > 0 → функція зростає; f′ < 0 → спадає; f′ = 0 → можлива точка екстремуму.

⚠️ f′=0 не завжди екстремум — перевіряй, чи змінюється знак похідної (напр. y=x³).

Планіметрія

Трикутники

Сума кутів 180°. Проти більшого кута — більша сторона. У прямокутному працює Піфагор і тригонометрія.

⚠️ ≈80% геометрії НМТ зводиться до прямокутного трикутника — шукай або добудовуй його.

Кола

Вписаний кут спирається на дугу; центральний — теж.

⚠️ Вписаний кут = ПОЛОВИНА центрального, що спирається на ту саму дугу.

Стереометрія

Тіла

Призма й циліндр — «прямі стовпи»; піраміда й конус — «загострені»; куля. Знай, де висота, а де апофема/твірна.

Обʼєми

Обʼєм піраміди = ⅓ призми з тією ж основою й висотою; конуса = ⅓ циліндра.

⚠️ Не забувай множник ⅓ для загострених тіл — типова помилка.

Прогресії

Арифметична vs геометрична

Арифметична — стала РІЗНИЦЯ d (додаємо). Геометрична — сталий ЗНАМЕННИК q (множимо).

Суми

Є формули суми n перших членів обох прогресій.

⚠️ Сума нескінченної геометричної існує лише при |q| < 1.

Ймовірність і задачі

Класична ймовірність

P = (сприятливі випадки) / (усі рівноможливі випадки). Значення від 0 до 1.

⚠️ «Хоча б один» зручно рахувати через доповнення: P = 1 − P(жодного).

Відсотки

Відсоток — частина від цілого. Зміни множаться, а не додаються.

⚠️ +20%, потім −20% дає 1,2·0,8 = 0,96 — тобто −4% від початку, а не 0.

Мнемоніки — щоб не забути

🧩

Синус табличний — просто корені

sin для 0°, 30°, 45°, 60°, 90° = √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 — корені чисел від 0 до 4, поділені на 2. cos читай у зворотному порядку.

🧩

Косинус злий — дає мінус!

Похідна: (cos x)' = −sin x. Косинус при диференціюванні «псується» і додає мінус, а синус — ні.

🧩

Формули зведення: змінюється чи ні

π/2 і 3π/2 → функція змінюється (sin↔cos, tg↔ctg). π і 2π → функція НЕ змінюється. Знак — як для гострого кута у тій чверті.

🧩

Від'ємний показник перекидає дріб

(a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ. Мінус у показнику — просто перевертає дріб, наприклад (½)⁻³ = 2³ = 8.

🧩

Вієта за секунду

Якщо a+b+c=0 → x₁=1, x₂=c/a. Якщо a−b+c=0 → x₁=−1, x₂=−c/a. Часто швидше за дискримінант.

🧩

Бачиш різницю квадратів — розкладай

a² − b² = (a−b)(a+b) — найчастіша формула НМТ. Помітив квадрат мінус квадрат — одразу на множники, дроби скорочуються.

Пастки та лайфхаки НМТ

💡 «Хоча б одна» — рахуй від протилежного

Замість прямого підрахунку знайди P(жодної) і відніми від 1. Напр. P(хоча б одна 6 з двох кубиків) = 1 − (5/6)² = 11/36.

💡 У геометрії шукай прямокутний трикутник

≈80% задач НМТ зводяться до нього. Проведи висоту, діагональ чи радіус — і застосуй Піфагора.

💡 Піфагорові трійки напам'ять

(3,4,5), (5,12,13), (8,15,17). Впізнаєш — не витрачаєш час на корені. Перевір тип Δ: a²+b²>c² гострокутний,

💡 Два робітники — коротка формула

t_разом = t₁·t₂ ÷ (t₁+t₂). Швидше, ніж складати дроби 1/t₁ + 1/t₂.

💡 +p% і −p% ≠ початок

Збільшити на 20%, потім зменшити на 20% дає 1.2·0.8 = 0.96 — тобто −4% від початкового. Відсотки не «скасовуються».

💡 ОДЗ — головна пастка

Знаменник ≠ 0; під коренем ≥ 0; аргумент логарифма > 0, основа > 0 і ≠ 1; tg x → x ≠ π/2 + πn. Перевіряй ЗАВЖДИ.

💡 Метод інтервалів — чергуй знаки

Познач корені на прямій, постав «+» у крайньому правому проміжку (якщо старший коефіцієнт додатний) і чергуй знак через кожен корінь.

💡 Перпендикулярність через вектори

Дві прямі/вектори перпендикулярні ⇔ скалярний добуток = 0 (x₁x₂ + y₁y₂ = 0). Для прямих: k₁·k₂ = −1.

🚀

Продовжити на платформі

Це лише витяг. У кабінеті — інтерактивна шпаргалка з миттєвим пошуком, дати, постаті й карти, флешкартки та тести з математики з поясненнями. Усе безкоштовно.

📌 Повна шпаргалка з математики 🎯 Тренувати тести

Шпаргалки з інших предметів

🇫🇷 Французька мова 🇩🇪 Німецька мова 🇪🇸 Іспанська мова 📖 Українська мова 📜 Українська література 🏛️ Історія України 🇬🇧 Англійська мова 🧬 Біологія 🌍 Географія ⚗️ Хімія ⚛️ Фізика